Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-4}{1}.$. Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\left( x>0 \right)$ là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm B, C, D sao cho ABCD là tứ dện đều. Tính giá trị của biểu thức $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}.$
A. P = 6.
B. P = 16.
C. P = 12.
D. P = 8.
Gọi I là tâm của mặt cầu $\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)$. Gọi O là giao điểm của mặt phẳng (BCD) và đoạn AI. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (Vì theo giả thiết $AB=AC=AD$ và $IB=IC=ID=\sqrt{\dfrac{14}{3}}$ nên AI vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại O).
Đặt $AI=x\left( x>\sqrt{\dfrac{14}{3}} \right)$. Ta có $AB=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}},$
$I{{B}^{2}}=IO.IA\Rightarrow IO=\dfrac{14}{3x}\Rightarrow OB=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{O}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{14}{3}-{{\left( \dfrac{14}{3x} \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow B{{D}^{2}}=O{{B}^{2}}+O{{D}^{2}}=3OB.OD.\cos 120{}^\circ =3O{{B}^{2}}\Rightarrow BD=\sqrt{3}OB=\sqrt{3\left( \dfrac{14}{3}-\dfrac{196}{9{{x}^{2}}} \right)}$
Do ABCD là tứ diện đều nên $AB=BD\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}}=\sqrt{3\left( \dfrac{14}{3}-\dfrac{196}{9{{x}^{2}}} \right)}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}=14-\dfrac{196}{3{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-56{{x}^{2}}+196=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{14}{3} \\
& {{x}^{2}}=14 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=\sqrt{14}. $ Gọi tọa độ điểm $ A\left( 4+3t;4+2t;4+t \right).$
Suy ra $AI=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 4+3t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4+2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4+t-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}$
$\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}+28t+14=14\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& A\left( 4;4;4 \right) \\
& A\left( -2;0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do ${{x}_{0}}>0$ nên điểm A có tọa độ $A\left( 4;4;4 \right)\Rightarrow P=12.$
A. P = 6.
B. P = 16.
C. P = 12.
D. P = 8.
Đặt $AI=x\left( x>\sqrt{\dfrac{14}{3}} \right)$. Ta có $AB=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}},$
$I{{B}^{2}}=IO.IA\Rightarrow IO=\dfrac{14}{3x}\Rightarrow OB=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{O}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{14}{3}-{{\left( \dfrac{14}{3x} \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow B{{D}^{2}}=O{{B}^{2}}+O{{D}^{2}}=3OB.OD.\cos 120{}^\circ =3O{{B}^{2}}\Rightarrow BD=\sqrt{3}OB=\sqrt{3\left( \dfrac{14}{3}-\dfrac{196}{9{{x}^{2}}} \right)}$
Do ABCD là tứ diện đều nên $AB=BD\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}}=\sqrt{3\left( \dfrac{14}{3}-\dfrac{196}{9{{x}^{2}}} \right)}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}=14-\dfrac{196}{3{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-56{{x}^{2}}+196=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{14}{3} \\
& {{x}^{2}}=14 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=\sqrt{14}. $ Gọi tọa độ điểm $ A\left( 4+3t;4+2t;4+t \right).$
Suy ra $AI=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 4+3t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4+2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4+t-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}$
$\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}+28t+14=14\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& A\left( 4;4;4 \right) \\
& A\left( -2;0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do ${{x}_{0}}>0$ nên điểm A có tọa độ $A\left( 4;4;4 \right)\Rightarrow P=12.$
Đáp án C.