Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2$ và hai đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-1}{-1},\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ và song song với $d,\Delta $ ?
A. $y+z+3=0$
B. $x+z+1=0$
C. $x+y+1=0$
D. $x+z-1=0$
A. $y+z+3=0$
B. $x+z+1=0$
C. $x+y+1=0$
D. $x+z-1=0$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;1;-2 \right);R=\sqrt{2}$.
Véc-tơ chỉ phương của d: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1;2;-1 \right)$. Véc-tơ chỉ phương của $\Delta :{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần viết phương trình.
Ta có $\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}},{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right]=\left( -1;0;-1 \right)=-\left( 1;0;1 \right)$ nên chọn một véc-tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( 1;0;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình tổng quát dạng $x+z+D=0$.
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| -1-2+D \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \left| D-3 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=5 \\
& D=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ và song song với $d,\Delta $ là $x+z+1=0$.
Véc-tơ chỉ phương của d: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1;2;-1 \right)$. Véc-tơ chỉ phương của $\Delta :{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần viết phương trình.
Ta có $\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}},{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right]=\left( -1;0;-1 \right)=-\left( 1;0;1 \right)$ nên chọn một véc-tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( 1;0;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình tổng quát dạng $x+z+D=0$.
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| -1-2+D \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \left| D-3 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=5 \\
& D=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ và song song với $d,\Delta $ là $x+z+1=0$.
Đáp án B.