Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

Cách 1: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=5.$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 4;3;1 \right).$
Lấy $M\left( 2;5;4 \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( 1;7;1 \right)=\left[ \overrightarrow{IM},\overrightarrow{u} \right]=\left( 4;3;-25 \right)$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$ là $d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=5=R\Rightarrow d$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$.
Cách 2: Giao điểm của mặt cầu $\left( S \right)$ và đường thẳng $d$ là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+4t \\
& y=5+3t \\
& z=4+t \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\left( 1+4t \right)}^{2}}+{{\left( 7+3t \right)}^{2}}+{{\left( 1+t \right)}^{2}}=25$
$\Leftrightarrow 26{{t}^{2}}+52t+26=0\Leftrightarrow 26{{\left( t+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=2 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại đúng một điểm $\left( -2;2;3 \right).$
Vậy đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right).$