Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S...

Cách 1: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;1;1 \right)$ và bán kính $R=3.$
Từ $P=a+2b+2c\Leftrightarrow a+2b+2c-P=0$ và $M\left( a;b;c \right)$ nên điểm $M$ luôn nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là $x+2y+2z-P=0$.
Mà $M\in \left( S \right)$ nên $M\in \left( \alpha \right)\cap \left( S \right)$, tức là mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ cắt nhau
$\Leftrightarrow d\left( I,\left( \alpha \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2+2.1+2.1-P \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le 3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6-P \right|}{3}\le 3$
$\Leftrightarrow -9\le 6-P\le 9\Leftrightarrow -3\le P\le 15.$
Suy ra $\min P=-3$ khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $\left( {{\alpha }_{1}} \right):x+3y+2z+3=0.$
Phương trình đường thẳng $MI$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Do $M=MI\cap \left( {{\alpha }_{1}} \right)$ nên tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2+t \\
& {{y}_{M}}=1+2t \\
& {{z}_{M}}=1+2t \\
& {{x}_{M}}+2{{y}_{M}}+2{{z}_{M}}+3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( 2+t \right)+2\left( 1+2t \right)+2\left( 1+2t \right)+3=0\Leftrightarrow 9t+9=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 1;-1;-1 \right)$
Vậy $T=a+b+c=1-1-1=-1.$
Cách 2: Do $M\in \left( S \right)$ nên ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=9$.
Ta có $P=a+2b+2c=\left( a-2 \right)+2\left( b-1 \right)+2\left( c-1 \right)+6.$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
${{\left[ 1.\left( a-2 \right)+2.\left( b-1 \right)+2.\left( c-1 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \right]=9.9=81$
Suy ra $-9\le \left( a-2 \right)+2\left( b-1 \right)+2\left( c-1 \right)\le 9$ hay $-3\le P\le 15.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a-2}{1}=\dfrac{b-1}{2}=\dfrac{c-1}{2}.$
Vậy $\min P=-3$ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& a+2b+2c=-3 \\
& \dfrac{a-2}{1}=\dfrac{b-1}{2}=\dfrac{c-1}{2}=t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2+t \\
& b=1+2t \\
& c=1+2t \\
& 2+t+2\left( 1+2t \right)+2\left( 1+2t \right)=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& a=1 \\
& b=-1 \\
& c=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\to T=a+b+c=1-1-1=-1.$