Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4$ và điểm $A\left( 1;0;0 \right).$ Xét đường thẳng d đi qua A và song song với mặt phẳng $\left( R \right):x+y+z-5=0.$ Giả sử $\left( P \right)$ và $\left( {{P}'} \right)$ là hai mặt phẳng chứa d tiếp xúc với $\left( S \right)$ lần lượt tại T và ${T}'.$ Khi d thay đổi, gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $T{T}'.$ Giá trị biểu thức $\dfrac{M}{m}$ bằng
A. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{15}{13}.$
B. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{15}{11}.$
C. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{13}{11}.$
D. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{13}{10}.$
A. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{15}{13}.$
B. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{15}{11}.$
C. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{13}{11}.$
D. $\dfrac{M}{m}=\dfrac{13}{10}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=2.$
Ta có $IA=\sqrt{{{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{13}.$
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $A\left( 1;0;0 \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( R \right):x+y+z-5=0$ thì mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $x+y+z-1=0$ và $d\subset \left( Q \right).$ Gọi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d, do $A\in d$ nên $IK\le IA=\sqrt{13}.$ Gọi H là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng $\left( Q \right),$ khi đó $IK\ge IH=d\left( I,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 1+2+3-1 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}.$ Suy ra
$\dfrac{5}{\sqrt{3}}\le IK\le \sqrt{13}.$
Từ giả thiết ta có $IT\bot \left( P \right)\Rightarrow IT\bot d,I{T}'\bot \left( P' \right)\Rightarrow I{T}'\bot d,$ mà $IK\bot d$ nên $IT,I{T}',IK$ cùng nằm trên một mặt phẳng (vì cùng vuông góc với d). Gọi E là giao điểm của IK và $T{T}'.$
Ta có $T{T}'=2TE=2.\dfrac{IT.TK}{IK}=2.\dfrac{R.\sqrt{I{{K}^{2}}-{{R}^{2}}}}{IK}=\dfrac{4\sqrt{I{{K}^{2}}-4}}{IK}.$
Đặt $IK=x$ thì $\dfrac{5}{\sqrt{3}}\le x\le \sqrt{13}$ và $T{T}'=\dfrac{4\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{4\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x}$ trên $\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right].$
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{16}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-4}}>0,\forall x\in \left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right]$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right].$
Suy ra $\underset{\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \sqrt{13} \right)=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$ và $\underset{\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{5}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{4\sqrt{13}}{5}.$
Vậy $M=\dfrac{12\sqrt{13}}{13},m=\dfrac{4\sqrt{13}}{5}$ và $\dfrac{M}{m}=\dfrac{12}{13}.\dfrac{5}{4}=\dfrac{15}{13}.$
Ta có $IA=\sqrt{{{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{13}.$
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $A\left( 1;0;0 \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( R \right):x+y+z-5=0$ thì mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $x+y+z-1=0$ và $d\subset \left( Q \right).$ Gọi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d, do $A\in d$ nên $IK\le IA=\sqrt{13}.$ Gọi H là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng $\left( Q \right),$ khi đó $IK\ge IH=d\left( I,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 1+2+3-1 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}.$ Suy ra
$\dfrac{5}{\sqrt{3}}\le IK\le \sqrt{13}.$
Từ giả thiết ta có $IT\bot \left( P \right)\Rightarrow IT\bot d,I{T}'\bot \left( P' \right)\Rightarrow I{T}'\bot d,$ mà $IK\bot d$ nên $IT,I{T}',IK$ cùng nằm trên một mặt phẳng (vì cùng vuông góc với d). Gọi E là giao điểm của IK và $T{T}'.$
Ta có $T{T}'=2TE=2.\dfrac{IT.TK}{IK}=2.\dfrac{R.\sqrt{I{{K}^{2}}-{{R}^{2}}}}{IK}=\dfrac{4\sqrt{I{{K}^{2}}-4}}{IK}.$
Đặt $IK=x$ thì $\dfrac{5}{\sqrt{3}}\le x\le \sqrt{13}$ và $T{T}'=\dfrac{4\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{4\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x}$ trên $\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right].$
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{16}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-4}}>0,\forall x\in \left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right]$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right].$
Suy ra $\underset{\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \sqrt{13} \right)=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$ và $\underset{\left[ \dfrac{5}{\sqrt{3}};\sqrt{13} \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{5}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{4\sqrt{13}}{5}.$
Vậy $M=\dfrac{12\sqrt{13}}{13},m=\dfrac{4\sqrt{13}}{5}$ và $\dfrac{M}{m}=\dfrac{12}{13}.\dfrac{5}{4}=\dfrac{15}{13}.$
Đáp án A.