Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right): x+2y+z-7=0$ và đi qua hai điểm $A\left( 1; 2; 1 \right)$, $B\left( 2; 5; 3 \right)$. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{470}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{763}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{345}}{3}$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 1; 3; 2 \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó $H\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}; 2 \right)$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$. Khi đó, ta có $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Khi đó, $\left( Q \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1; 3; 2 \right)$ làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $x+3y+2z-16=0$.
Gọi $M$ là điểm thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-7=0 \\
& x+3y+2z-16=0 \\
\end{aligned} \right. $, chọn $ M\left( -11; 9; 0 \right)$.
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Khi đó, $d$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}; \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1; -1; 1 \right)$.
Vậy phương trình của $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-11+t \\
& y=9-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Điểm $I$ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, suy ra $I\left( -11+t; 9-t; t \right)$. $\left( S \right)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{3{{\left( t-\dfrac{20}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{182}{3}}\ge \dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi và chỉ khi $I\left( -\dfrac{13}{3}; \dfrac{7}{3}; \dfrac{20}{3} \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{470}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{763}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{345}}{3}$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 1; 3; 2 \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó $H\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}; 2 \right)$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$. Khi đó, ta có $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Khi đó, $\left( Q \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1; 3; 2 \right)$ làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $x+3y+2z-16=0$.
Gọi $M$ là điểm thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-7=0 \\
& x+3y+2z-16=0 \\
\end{aligned} \right. $, chọn $ M\left( -11; 9; 0 \right)$.
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Khi đó, $d$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}; \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1; -1; 1 \right)$.
Vậy phương trình của $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-11+t \\
& y=9-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Điểm $I$ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, suy ra $I\left( -11+t; 9-t; t \right)$. $\left( S \right)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{3{{\left( t-\dfrac{20}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{182}{3}}\ge \dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi và chỉ khi $I\left( -\dfrac{13}{3}; \dfrac{7}{3}; \dfrac{20}{3} \right)$.
Đáp án B.