Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S)

có phương trình

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4

Xét đường thẳng

d : {\begin{aligned} x = 1 + t \\ y = - m t \\ z = (m - 1) t \end{aligned}

, m là tham số thực.
Giả sử

(P)

và

(P^{'})

là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với

(S)

lần lượt tại

T

và

T^{'}

. Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

T T^{'}

là
A.

\frac{4 \sqrt{13}}{5}

B.

2 \sqrt{2}

C. 2
D.

\frac{2 \sqrt{11}}{3}

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; 2; 3)

và bán kính

R = I T = I T^{'} = 2

Ta có

T T^{'} = 2 T H

mà

\frac{1}{T H^{2}} = \frac{1}{T I^{2}} + \frac{1}{T M^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{I M^{2} - 4}

(1)
Ta đi tìm min IM.
Do

M \in d \Rightarrow M (1 + t; - m t; (m - 1) t)

nên

I M^{2} = (2 m^{2} - 2 m + 2) t^{2} + (6 - 2 m) t + 13

\Leftrightarrow (2 m^{2} - 2 m + 2) t^{2} + (6 - 2 m) t + 13 - I M^{2} = 0

Ta có:

Δ^{'} = {(3 - m)}^{2} - (2 m^{2} - 2 m + 2) (13 - I M^{2}) \geq 0

\Leftrightarrow I M^{2} \geq 13 - \frac{{(m - 3)}^{2}}{2 m^{2} - 2 m + 2} = f (m)

Ta có

f^{'} (m) = \frac{(m - 3) (10 m - 2)}{{(2 m^{2} - 2 m + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = 3 \\ m = \frac{1}{5} \end{aligned}

Từ đó

f (m) \geq f (\frac{1}{5}) = \frac{25}{3} \Rightarrow I M^{2} \geq \frac{25}{3}

Từ (1) suy ra

T H \geq \sqrt{\frac{52}{25}} \Rightarrow T T^{'} = 2 T H \geq \frac{4 \sqrt{13}}{5}

Đáp án A.