Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình
$\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4$
Xét đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-mt \\
& z=\left( m-1 \right)t \\
\end{aligned} \right.$, m là tham số thực.
Giả sử $\left( P \right)$ và $\left( {{P}'} \right)$ là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với $\left( S \right)$ lần lượt tại $T$ và ${T}'$. Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $T{T}'$ là
A. $\dfrac{4\sqrt{13}}{5}$
B. $2\sqrt{2}$
C. 2
D. $\dfrac{2\sqrt{11}}{3}$
$\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4$
Xét đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-mt \\
& z=\left( m-1 \right)t \\
\end{aligned} \right.$, m là tham số thực.
Giả sử $\left( P \right)$ và $\left( {{P}'} \right)$ là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với $\left( S \right)$ lần lượt tại $T$ và ${T}'$. Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $T{T}'$ là
A. $\dfrac{4\sqrt{13}}{5}$
B. $2\sqrt{2}$
C. 2
D. $\dfrac{2\sqrt{11}}{3}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1; 2; 3 \right)$ và bán kính $R=IT=I{T}'=2$
Ta có $T{T}'=2TH$ mà $\dfrac{1}{T{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{T{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{T{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{I{{M}^{2}}-4}$ (1)
Ta đi tìm min IM.
Do $M\in d\Rightarrow M\left( 1+t; -mt; \left( m-1 \right)t \right)$ nên $I{{M}^{2}}=\left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right){{t}^{2}}+\left( 6-2m \right)t+13$
$\Leftrightarrow \left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right){{t}^{2}}+\left( 6-2m \right)t+13-I{{M}^{2}}=0$
Ta có: ${\Delta }'={{\left( 3-m \right)}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right)\left( 13-I{{M}^{2}} \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow I{{M}^{2}}\ge 13-\dfrac{{{\left( m-3 \right)}^{2}}}{2{{m}^{2}}-2m+2}=f\left( m \right)$
Ta có ${f}'\left( m \right)=\dfrac{\left( m-3 \right)\left( 10m-2 \right)}{{{\left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó $f\left( m \right)\ge f\left( \dfrac{1}{5} \right)=\dfrac{25}{3}\Rightarrow I{{M}^{2}}\ge \dfrac{25}{3}$
Từ (1) suy ra
$T H \geq \sqrt{\dfrac{52}{25}} \Rightarrow T T^{\prime}=2 T H \geq \dfrac{4 \sqrt{13}}{5}$
Ta có $T{T}'=2TH$ mà $\dfrac{1}{T{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{T{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{T{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{I{{M}^{2}}-4}$ (1)
Ta đi tìm min IM.
Do $M\in d\Rightarrow M\left( 1+t; -mt; \left( m-1 \right)t \right)$ nên $I{{M}^{2}}=\left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right){{t}^{2}}+\left( 6-2m \right)t+13$
$\Leftrightarrow \left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right){{t}^{2}}+\left( 6-2m \right)t+13-I{{M}^{2}}=0$
Ta có: ${\Delta }'={{\left( 3-m \right)}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right)\left( 13-I{{M}^{2}} \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow I{{M}^{2}}\ge 13-\dfrac{{{\left( m-3 \right)}^{2}}}{2{{m}^{2}}-2m+2}=f\left( m \right)$
Ta có ${f}'\left( m \right)=\dfrac{\left( m-3 \right)\left( 10m-2 \right)}{{{\left( 2{{m}^{2}}-2m+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=\dfrac{1}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó $f\left( m \right)\ge f\left( \dfrac{1}{5} \right)=\dfrac{25}{3}\Rightarrow I{{M}^{2}}\ge \dfrac{25}{3}$
Từ (1) suy ra
$T H \geq \sqrt{\dfrac{52}{25}} \Rightarrow T T^{\prime}=2 T H \geq \dfrac{4 \sqrt{13}}{5}$
Đáp án A.