Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$ và các điểm $A\left( 1;0;2 \right)$, $B\left( -1;2;2 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$, đường tròn đáy là thiết diện của mặt phẳng $\left( P \right)$ với mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ sao cho thể tích của khối nón $\left( N \right)$ là lớn nhất. Khi viết phương trình $\left( P \right)$ dưới dạng $\left( P \right):ax+by+cz+3=0$. Tính $T=a+b+c$.
A. $3$.
B. $-3$.
C. $0$.
D. $-2$.
Mặt cầu có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ bán kính là $R=4$.
Ta có $A$, $B$ nằm trong mặt cầu. Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $AB$ và $H$ là hình chiếu của $I$ lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng $S=\pi {{r}^{2}}=\pi \left( {{R}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)$. Do đó thể tích khối nón $\left( N \right)$ lớn nhất khi diện tích thiết diện nhỏ nhất hay $IH$ lớn nhất. Mà $IH\le IK$ suy ra $\left( P \right)$ qua $A,B$ và vuông góc với $IK$.
Ta có $IA=IB=\sqrt{5}$ suy ra $K$ là trung điểm của $AB$. Vậy $K\left( 0;1;2 \right)$ và $\overrightarrow{KI}=\left( 1;1;1 \right)$.
Vậy $\left( P \right):\left( x-1 \right)+y+\left( z-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow -x-y-z+3=0$.
Vậy $T=-3$.
A. $3$.
B. $-3$.
C. $0$.
D. $-2$.
Mặt cầu có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ bán kính là $R=4$.
Ta có $A$, $B$ nằm trong mặt cầu. Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $AB$ và $H$ là hình chiếu của $I$ lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng $S=\pi {{r}^{2}}=\pi \left( {{R}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)$. Do đó thể tích khối nón $\left( N \right)$ lớn nhất khi diện tích thiết diện nhỏ nhất hay $IH$ lớn nhất. Mà $IH\le IK$ suy ra $\left( P \right)$ qua $A,B$ và vuông góc với $IK$.
Ta có $IA=IB=\sqrt{5}$ suy ra $K$ là trung điểm của $AB$. Vậy $K\left( 0;1;2 \right)$ và $\overrightarrow{KI}=\left( 1;1;1 \right)$.
Vậy $\left( P \right):\left( x-1 \right)+y+\left( z-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow -x-y-z+3=0$.
Vậy $T=-3$.
Đáp án B.