Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho mặt cầu $\left( S...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3

. Một mặt phẳng

(α)

tiếp xúc với mặt cầu

(S)

và cắt các tia

O x, O y, O z

lần lượt tại các điểm

A, B, C

thoả mãn

O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 27

. Diện tích của tam giác

A B C

bằng
A.

\frac{9 \sqrt{3}}{2}

.
B.

3 \sqrt{3}

.
C.

9 \sqrt{3}

.
D.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

.

Giả sử

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

Do

A, B, C

nằm trên các tia

O x, O y, O z

nên

a, b, c > 0

.

O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 27 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 27

Ta có

(α) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow b c x + c a y + a b z - a b c = 0

Mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3

có tâm

O

và bán kính

R = \sqrt{3}

Do

(α)

tiếp xúc với

(S)

nên

d (O; (α)) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{a b c}{\sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}} = \sqrt{3}

\Leftrightarrow a^{2} b^{2} c^{2} = 3 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{3}

Ta có

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) \geq 3. \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} . \frac{3}{\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}} = 9

Mà theo giả thiết

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) = 9

nên từ đó ta có

a = b = c = 3

.

V_{O A B C} = \frac{a b c}{6} = \frac{9}{2} \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{3 V_{O A B C}}{d (O, (α))} = \frac{27}{2 \sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}

.

Đáp án A.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...