Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right): {{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}} = 3$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ và cắt các tia $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ thoả mãn $O{{A}^{2}} + O{{B}^{2}} + O{{C}^{2}} = 27$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng
A. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
B. $3\sqrt{3}$.
C. $9\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
B. $3\sqrt{3}$.
C. $9\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Giả sử $A\left( a; 0; 0 \right), B\left( 0; b; 0 \right), C\left( 0; 0; c \right)$
Do $A, B, C$ nằm trên các tia $Ox, Oy, Oz$ nên $a, b, c > 0$.
$O{{A}^{2}} + O{{B}^{2}} + O{{C}^{2}} = 27 \Leftrightarrow {{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}} = 27$
Ta có $\left( \alpha \right): \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow bcx + cay + abz - abc = 0$
Mặt cầu $\left( S \right): {{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}} = 3$ có tâm $O$ và bán kính $R = \sqrt{3}$
Do $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( O; \left( \alpha \right) \right) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{abc}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}} + {{b}^{2}}{{c}^{2}} + {{c}^{2}}{{a}^{2}}}} = \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}} = 3\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}} + {{b}^{2}}{{c}^{2}} + {{c}^{2}}{{a}^{2}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}} + \dfrac{1}{{{b}^{2}}} + \dfrac{1}{{{c}^{2}}} = \dfrac{1}{3}$
Ta có $\left( {{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}} + \dfrac{1}{{{b}^{2}}} + \dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right) \ge 3.\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}} = 9$
Mà theo giả thiết $\left( {{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}} + \dfrac{1}{{{b}^{2}}} + \dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right) = 9$ nên từ đó ta có $a = b = c = 3$.
${{V}_{OABC}}=\dfrac{abc}{6}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{V}_{OABC}}}{d\left( O,\left( \alpha \right) \right)}=\dfrac{27}{2\sqrt{3}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
Do $A, B, C$ nằm trên các tia $Ox, Oy, Oz$ nên $a, b, c > 0$.
$O{{A}^{2}} + O{{B}^{2}} + O{{C}^{2}} = 27 \Leftrightarrow {{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}} = 27$
Ta có $\left( \alpha \right): \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow bcx + cay + abz - abc = 0$
Mặt cầu $\left( S \right): {{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}} = 3$ có tâm $O$ và bán kính $R = \sqrt{3}$
Do $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( O; \left( \alpha \right) \right) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \dfrac{abc}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}} + {{b}^{2}}{{c}^{2}} + {{c}^{2}}{{a}^{2}}}} = \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}} = 3\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}} + {{b}^{2}}{{c}^{2}} + {{c}^{2}}{{a}^{2}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}} + \dfrac{1}{{{b}^{2}}} + \dfrac{1}{{{c}^{2}}} = \dfrac{1}{3}$
Ta có $\left( {{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}} + \dfrac{1}{{{b}^{2}}} + \dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right) \ge 3.\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}} = 9$
Mà theo giả thiết $\left( {{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}} + \dfrac{1}{{{b}^{2}}} + \dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right) = 9$ nên từ đó ta có $a = b = c = 3$.
${{V}_{OABC}}=\dfrac{abc}{6}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{V}_{OABC}}}{d\left( O,\left( \alpha \right) \right)}=\dfrac{27}{2\sqrt{3}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.