Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$ có tâm $I$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+6}{3}=\dfrac{z+2}{2}.$ Gọi $A$ là điểm nằm trên đường thẳng $d.$ Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB,AC,AD$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ với $B,C,D$ là các tiếp điểm. Khi thể tích khối chóp $I.BCD$ đạt giá trị lớn nhất, mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương trình là $mx+ny+pz+12=0.$ Giá trị của $m+n+p$ bằng
A. 4.
B. $-4.$
C. $-2.$
D. 2.
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$ có tâm $I\left( 3;2;1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{3}.$
Gọi $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD.$
Trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có diện tích lớn nhất, vì vậy thể tích khối chóp $I.BCD$ đạt giá trị lớn nhất khi thể tích khối nón đỉnh $I,$ đáy là đường tròn $\left( I,IM \right)$ lớn nhất.
Gọi $IM=x,\left( 0<x<\sqrt{3} \right)$ ta có thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}IM.\pi .M{{B}^{2}}=\dfrac{\pi }{3}.x.\left( 3-{{x}^{2}} \right).$
$V$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1.$
Xét tam giác $ABI$ vuông tại $B,$ có đường cao $BM,$ tính được $IA=\dfrac{I{{B}^{2}}}{IM}=3,AB=\sqrt{6}.$
Gọi $A\left( 1+2t;-6+3t;-2+2t \right)\in d,IA=3\Leftrightarrow {{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-8 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=2.$
Tọa độ điểm $A\left( 5;0;2 \right).$ Phương trình mặt cầu tâm $A,$ bán kính $AB$ là:
$\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=6.$ Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ chứa giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( {{S}_{1}} \right)$ có phương trình thỏa mãn hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3 \\
& {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -4x+4y-2z+12=0.$
Đồng nhất với mặt phẳng $mx+ny+pz+12=0$ ta có $m+n+p=-2.$
A. 4.
B. $-4.$
C. $-2.$
D. 2.
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$ có tâm $I\left( 3;2;1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{3}.$
Gọi $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD.$
Trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có diện tích lớn nhất, vì vậy thể tích khối chóp $I.BCD$ đạt giá trị lớn nhất khi thể tích khối nón đỉnh $I,$ đáy là đường tròn $\left( I,IM \right)$ lớn nhất.
Gọi $IM=x,\left( 0<x<\sqrt{3} \right)$ ta có thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}IM.\pi .M{{B}^{2}}=\dfrac{\pi }{3}.x.\left( 3-{{x}^{2}} \right).$
$V$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1.$
Xét tam giác $ABI$ vuông tại $B,$ có đường cao $BM,$ tính được $IA=\dfrac{I{{B}^{2}}}{IM}=3,AB=\sqrt{6}.$
Gọi $A\left( 1+2t;-6+3t;-2+2t \right)\in d,IA=3\Leftrightarrow {{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-8 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=2.$
Tọa độ điểm $A\left( 5;0;2 \right).$ Phương trình mặt cầu tâm $A,$ bán kính $AB$ là:
$\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=6.$ Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ chứa giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( {{S}_{1}} \right)$ có phương trình thỏa mãn hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3 \\
& {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -4x+4y-2z+12=0.$
Đồng nhất với mặt phẳng $mx+ny+pz+12=0$ ta có $m+n+p=-2.$
Đáp án C.