Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25.$ Mặt phẳng nào dưới đây cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3?
A. $3x-4y+5z-18=0$
B. $3x-4y+5z-18+20\sqrt{2}=0$
C. $2x+2y-z+2=0$
D. $x+y+z+2=0$
A. $3x-4y+5z-18=0$
B. $3x-4y+5z-18+20\sqrt{2}=0$
C. $2x+2y-z+2=0$
D. $x+y+z+2=0$
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pytago: ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}$ với $R$ là bán kính hình cầu, $r$ là bán kính hình tròn, $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$ với $I$ là tâm mặt cầu.
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;-2;0 \right)$, bán kính $R=5.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến $\Rightarrow r=3.$
Gọi $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\Rightarrow d=4$
Xét các đáp án chỉ có đáp án B thỏa mãn $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 4.3-4.\left( -2 \right)-18+20\sqrt{2} \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=4.$
Áp dụng định lí Pytago: ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}$ với $R$ là bán kính hình cầu, $r$ là bán kính hình tròn, $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$ với $I$ là tâm mặt cầu.
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;-2;0 \right)$, bán kính $R=5.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến $\Rightarrow r=3.$
Gọi $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\Rightarrow d=4$
Xét các đáp án chỉ có đáp án B thỏa mãn $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 4.3-4.\left( -2 \right)-18+20\sqrt{2} \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=4.$
Đáp án B.