Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình
$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right. $
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.$
$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right. $
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình tham số của d là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1+t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng $\Delta $ cần tìm là đường thẳng MH.
Vì H thuộc d nên $H\left( 1+2t;-1+t;-t \right)$, suy ra $\overrightarrow{MH}=\left( 2t-1;-2+t;-t \right)$
Vì $MH\bot d$ và d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)$ nên $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0$
$\Rightarrow 2.(2t-1)+1.(t-2)+(-1).(-t)=0\Leftrightarrow 6t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}.$
Do đó $\overrightarrow{MH}=\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{-2}{3} \right)$
Vậy phương trình tham số của $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
& x=1+2t \\
& y=-1+t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng $\Delta $ cần tìm là đường thẳng MH.
Vì H thuộc d nên $H\left( 1+2t;-1+t;-t \right)$, suy ra $\overrightarrow{MH}=\left( 2t-1;-2+t;-t \right)$
Vì $MH\bot d$ và d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)$ nên $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0$
$\Rightarrow 2.(2t-1)+1.(t-2)+(-1).(-t)=0\Leftrightarrow 6t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}.$
Do đó $\overrightarrow{MH}=\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{-2}{3} \right)$
Vậy phương trình tham số của $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-4t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Đáp án A.