Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$ thỏa mãn $CD=2AB$ và diện tích bằng 27, đỉnh $A\left( -1;-1;0 \right)$. Phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{1}$. Tìm tọa độ điểm $D$ biết ${{x}_{B}}>{{x}_{A}}$ ?
A. $D\left( -2;-5;1 \right)$
B. $D\left( -3;-5;1 \right)$
C. $D\left( 2;-5;1 \right)$
D. $D\left( 3;-5;1 \right)$
A. $D\left( -2;-5;1 \right)$
B. $D\left( -3;-5;1 \right)$
C. $D\left( 2;-5;1 \right)$
D. $D\left( 3;-5;1 \right)$
Đường thẳng $CD$ qua $M\left( 2;-1;3 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( 2;2;1 \right)$.
Gọi $H\left( 2+2t;\ -1+2t;\ 3+t \right)$ là hình chiếu của $A$ lên $CD$, ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow H\left( 0;-3;2 \right),\ d\left( A;CD \right)=AH=3$.
Từ giả thiết ta có $AB+CD=3AB=\dfrac{2S}{AH}=18\Rightarrow AB=6,\ DH=3,\ HC=9$.
Đặt $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{u}\Rightarrow k>0$ (do ${{x}_{B}}>{{x}_{A}}$ ) $\Rightarrow k=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=2\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( 4;4;2 \right)\Rightarrow B\left( 3;3;2 \right)$.
$\begin{aligned}
& \overrightarrow{HC}=\dfrac{9}{6}\overrightarrow{AB}\left( 6;6;3 \right)\Rightarrow C\left( 6;3;5 \right) \\
& \overrightarrow{HD}=-\dfrac{3}{6}\overrightarrow{AB}\left( -2;-2;-1 \right)\Rightarrow D\left( -2;-5;1 \right) \\
\end{aligned}$
Gọi $H\left( 2+2t;\ -1+2t;\ 3+t \right)$ là hình chiếu của $A$ lên $CD$, ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow H\left( 0;-3;2 \right),\ d\left( A;CD \right)=AH=3$.
Từ giả thiết ta có $AB+CD=3AB=\dfrac{2S}{AH}=18\Rightarrow AB=6,\ DH=3,\ HC=9$.
Đặt $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{u}\Rightarrow k>0$ (do ${{x}_{B}}>{{x}_{A}}$ ) $\Rightarrow k=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=2\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( 4;4;2 \right)\Rightarrow B\left( 3;3;2 \right)$.
$\begin{aligned}
& \overrightarrow{HC}=\dfrac{9}{6}\overrightarrow{AB}\left( 6;6;3 \right)\Rightarrow C\left( 6;3;5 \right) \\
& \overrightarrow{HD}=-\dfrac{3}{6}\overrightarrow{AB}\left( -2;-2;-1 \right)\Rightarrow D\left( -2;-5;1 \right) \\
\end{aligned}$
Đáp án A.