Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ biết $A\left( 1;0;0 \right)$ $,B\left( 5;0;0 \right),C\left( 5;4;0 \right)$ và chiều cao hình chóp bằng 6. Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm cách đều 5 đỉnh của hình chóp (với c>0). Tính giá trị của $T=a+2b+3c$
A. $T=41$
B. $T=14$
C. $T=23$
D. $T=32$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)\equiv \left( Oxy \right)$. Do $S.ABCD$ là chóp đều nên H là giao điểm của AC và $BD\Rightarrow H\left( 3;2;0 \right)$ (với H là trung điểm của AC)
Theo đề ra ta có: $SH=6\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& S\left( 3;2;6 \right) \\
& S\left( 3;2;-6 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vì I cách đều 5 đỉnh của chóp nên suy ra:
$I\in SH\Rightarrow I\left( 3;2;c \right)$. Do $c>0\Rightarrow S\left( 3;2;6 \right)$
Mặt khác: $IA=IS\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{S}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( c-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 12c=28\Leftrightarrow c=\dfrac{7}{3}$
$\Rightarrow I\left( 3;2;\dfrac{7}{3} \right)\Rightarrow a=3;b=2;c=\dfrac{7}{3}\Rightarrow T=a+2b+3c=14$
A. $T=41$
B. $T=14$
C. $T=23$
D. $T=32$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)\equiv \left( Oxy \right)$. Do $S.ABCD$ là chóp đều nên H là giao điểm của AC và $BD\Rightarrow H\left( 3;2;0 \right)$ (với H là trung điểm của AC)
Theo đề ra ta có: $SH=6\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& S\left( 3;2;6 \right) \\
& S\left( 3;2;-6 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vì I cách đều 5 đỉnh của chóp nên suy ra:
$I\in SH\Rightarrow I\left( 3;2;c \right)$. Do $c>0\Rightarrow S\left( 3;2;6 \right)$
Mặt khác: $IA=IS\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{S}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( c-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 12c=28\Leftrightarrow c=\dfrac{7}{3}$
$\Rightarrow I\left( 3;2;\dfrac{7}{3} \right)\Rightarrow a=3;b=2;c=\dfrac{7}{3}\Rightarrow T=a+2b+3c=14$
Đáp án B.