Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp $M.ABCD$ có đỉnh $M$ thay đổi luôn nằm trên mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=1$, đáy $ABCD$ là hình vuông có tâm $H\left( 1;2;3 \right)$, $A\left( 3;2;1 \right)$. Thể tích lớn nhất của khối chóp $M.ABCD$ bằng
A. $64$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{128}{3}$.
D. $\dfrac{64}{3}$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;1;6 \right)$, bán kính $R=1$.
Có $IH=\sqrt{11}$ và $IA=3\sqrt{3}$ $\Rightarrow $ hai điểm $H,A$ nằm ngoài mặt cầu.
Hình vuông $ABCD$ có $HA=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=AH\sqrt{2}=4\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=16$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ có ${{V}_{M.ABCD}}=\dfrac{1}{3}MK.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{16}{3}MK$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ trên $AH$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $AH$.
Ta có $MK\le MN\le MJ\le IM+IJ$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của $IJ$ và mặt cầu ( $I$ nằm giữa $M$ và $J$ ).
$\Rightarrow {{V}_{M.ABCD}}\le \dfrac{16}{3}\left( R+d\left( I,AH \right) \right)$.
Có $\overrightarrow{AI}=\left( -1;-1;5 \right),\overrightarrow{AH}=\left( -2;0;2 \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH} \right]=\left( -2;-8;-2 \right)$
$\Rightarrow d\left( I,AH \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AH} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$ $\Rightarrow {{V}_{M.ABCD}}\le \dfrac{64}{3}$.
Vậy ${{V}_{M.ABCD}}$ lớn nhất bằng $\dfrac{64}{3}$.
A. $64$.
B. $\dfrac{32}{3}$.
C. $\dfrac{128}{3}$.
D. $\dfrac{64}{3}$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;1;6 \right)$, bán kính $R=1$.
Có $IH=\sqrt{11}$ và $IA=3\sqrt{3}$ $\Rightarrow $ hai điểm $H,A$ nằm ngoài mặt cầu.
Hình vuông $ABCD$ có $HA=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=AH\sqrt{2}=4\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=16$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ có ${{V}_{M.ABCD}}=\dfrac{1}{3}MK.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{16}{3}MK$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ trên $AH$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $AH$.
Ta có $MK\le MN\le MJ\le IM+IJ$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của $IJ$ và mặt cầu ( $I$ nằm giữa $M$ và $J$ ).
$\Rightarrow {{V}_{M.ABCD}}\le \dfrac{16}{3}\left( R+d\left( I,AH \right) \right)$.
Có $\overrightarrow{AI}=\left( -1;-1;5 \right),\overrightarrow{AH}=\left( -2;0;2 \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH} \right]=\left( -2;-8;-2 \right)$
$\Rightarrow d\left( I,AH \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AH} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$ $\Rightarrow {{V}_{M.ABCD}}\le \dfrac{64}{3}$.
Vậy ${{V}_{M.ABCD}}$ lớn nhất bằng $\dfrac{64}{3}$.
Đáp án D.