Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):2x+y-z-1=0$ và $(Q):x-2y-5=0$. Khi đó giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ có một vectơ chỉ phương là
A. $\overrightarrow{u}=(1;3;5)$
B. $\overrightarrow{u}=(-1;3;-5)$
C. $\overrightarrow{u}=(2;1;-1)$
D. $108\pi $
A. $\overrightarrow{u}=(1;3;5)$
B. $\overrightarrow{u}=(-1;3;-5)$
C. $\overrightarrow{u}=(2;1;-1)$
D. $108\pi $
Cách 1: Giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y-z-1=0 \\
& x-2y+z-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=z+1 \\
& x-2y=-z+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2(z+1)+(-z+5)}{5}=\dfrac{z+7}{5} \\
& y=\dfrac{(z+1)-2(-z+5)}{5}=\dfrac{3z-9}{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-3}{5} \\
\end{aligned}$
Do đó, đáp án đúng là A.
Cách 2: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{p}}},\overrightarrow{{{u}_{Q}}} \right]=(1;3;5)$
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y-z-1=0 \\
& x-2y+z-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=z+1 \\
& x-2y=-z+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2(z+1)+(-z+5)}{5}=\dfrac{z+7}{5} \\
& y=\dfrac{(z+1)-2(-z+5)}{5}=\dfrac{3z-9}{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-3}{5} \\
\end{aligned}$
Do đó, đáp án đúng là A.
Cách 2: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{p}}},\overrightarrow{{{u}_{Q}}} \right]=(1;3;5)$
Đáp án A.