Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-3y+2z-1=0,\left( Q \right):x-z+2=0$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ đồng thời cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp $\left( \alpha \right)$ là
A. $x+y+z-3=0$.
B. $x+y+z+3=0$.
C. $-2x+z+6=0$.
D. $-2x+z-6=0$.
A. $x+y+z-3=0$.
B. $x+y+z+3=0$.
C. $-2x+z+6=0$.
D. $-2x+z-6=0$.
$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;-3;2 \right)$, $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;0;-1 \right)$.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;3;3 \right)=3\left( 1;1;1 \right)$.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0;0 \right)$.
Vậy $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0;0 \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;1;1 \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x+y+z-3=0$.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;3;3 \right)=3\left( 1;1;1 \right)$.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0;0 \right)$.
Vậy $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0;0 \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;1;1 \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x+y+z-3=0$.
Đáp án A.