Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+3=0,\ \left( Q \right):x+2y-2z-5=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-11=0$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( P \right)$ sao cho $MN$ luôn vuông góc với $\left( Q \right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng:
A. $9+5\sqrt{3}$
B. 28
C. 14
D. $3+5\sqrt{3}$
A. $9+5\sqrt{3}$
B. 28
C. 14
D. $3+5\sqrt{3}$
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right),R=5$.
Gọi $\overrightarrow{v}=\left( t;2t;-2t \right)$ là vectơ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{v}$ biến $\left( S \right)$ thành $\left( S' \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{v}$ biến điểm $I$ thành $I'\left( t+1;2t-2;-2t+3 \right)$.
Suy ra mặt cầu $\left( S' \right)$ có tâm $I'$ và bán kính $R'=R=5$.
Vì $\left( S' \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên $d\left[ I;\left( P \right) \right]=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| -3t+9 \right|}{\sqrt{3}}=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3t=9+5\sqrt{3} \\
& 3t=9-5\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\left| \overrightarrow{v} \right|=\sqrt{{{t}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}}=\left| 3t \right|\xrightarrow{{}}MN$ lớn nhất là $9+5\sqrt{3}$.
Gọi $\overrightarrow{v}=\left( t;2t;-2t \right)$ là vectơ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{v}$ biến $\left( S \right)$ thành $\left( S' \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{v}$ biến điểm $I$ thành $I'\left( t+1;2t-2;-2t+3 \right)$.
Suy ra mặt cầu $\left( S' \right)$ có tâm $I'$ và bán kính $R'=R=5$.
Vì $\left( S' \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên $d\left[ I;\left( P \right) \right]=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| -3t+9 \right|}{\sqrt{3}}=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3t=9+5\sqrt{3} \\
& 3t=9-5\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\left| \overrightarrow{v} \right|=\sqrt{{{t}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}}=\left| 3t \right|\xrightarrow{{}}MN$ lớn nhất là $9+5\sqrt{3}$.
Đáp án A.