Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-2=0,$ $\left( Q \right):x+3y-12=0$ đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{2}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right).$
A. $\left( R \right):5x+y-7z-1=0.$
B. $\left( R \right):x+2y-z+2=0.$
C. $\left( R \right):x+2y-z=0.$
D. $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$
A. $\left( R \right):5x+y-7z-1=0.$
B. $\left( R \right):x+2y-z+2=0.$
C. $\left( R \right):x+2y-z=0.$
D. $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$
VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;1;-1 \right)$, VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 1;3;0 \right)$. Gọi ${d}'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$.
Khi đó VTCP của ${d}'$ là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;2 \right)$ cũng là VTCP của $d\Rightarrow d\text{ // {d}'}$.
$A\left( 1;-2;-1 \right)\in \text{d},\text{ B}\left( 0;4;2 \right)\in \text{{d}'}$. Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( -1;6;3 \right)$, VTCP của $\left( R \right)$ là: $\overrightarrow{n}\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{u} \right]=\left( 15;11;-17 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $\left( R \right):15\left( x-0 \right)+11\left( y-4 \right)-17\left( z-2 \right)=0$ hay
$\left( R \right):15\text{x}+11y-17\text{z}-10=0$.
Khi đó VTCP của ${d}'$ là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;2 \right)$ cũng là VTCP của $d\Rightarrow d\text{ // {d}'}$.
$A\left( 1;-2;-1 \right)\in \text{d},\text{ B}\left( 0;4;2 \right)\in \text{{d}'}$. Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( -1;6;3 \right)$, VTCP của $\left( R \right)$ là: $\overrightarrow{n}\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{u} \right]=\left( 15;11;-17 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $\left( R \right):15\left( x-0 \right)+11\left( y-4 \right)-17\left( z-2 \right)=0$ hay
$\left( R \right):15\text{x}+11y-17\text{z}-10=0$.
Đáp án D.