Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-2y+2z+7=0$ và $\left( \beta \right):5x-4y+3z+1=0.$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc với $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là:
A. $2x-y+2z=0$
B. $2x+y-2z=0$
C. $2x+y-2z+1=0$
D. $2x-y-2z=0$
A. $2x-y+2z=0$
B. $2x+y-2z=0$
C. $2x+y-2z+1=0$
D. $2x-y-2z=0$
Phương pháp:
- Tìm VTPT của $\left( P \right):\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right].$
- Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
Cách giải:
Mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-2y+2z+7=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 3;-2;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( \beta \right):5x-4y+3z+1=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 5;-4;3 \right).$
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 2;1;-2 \right)$ là 1 VTPT của $\left( P \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2x+y-2z=0.$
- Tìm VTPT của $\left( P \right):\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right].$
- Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
Cách giải:
Mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-2y+2z+7=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 3;-2;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( \beta \right):5x-4y+3z+1=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 5;-4;3 \right).$
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 2;1;-2 \right)$ là 1 VTPT của $\left( P \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2x+y-2z=0.$
Đáp án B.