Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left(S_{1}\right):(x+5)^{2}+y^{2}+z^{2}=25$, $\left(S_{2}\right):(x+5)^{2}+y^{2}+z^{2}=100$ và điểm $K(8 ; 0 ; 0)$. Đường thẳng $\Delta$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $\left(S_{1}\right)$, đồng thời cắt $\left(S_{2}\right)$ tại hai điểm $M,\ N$. Tam giác $KMN$ có thể có diện tích lớn nhất bằng
A. $90 \sqrt{3}$.
B. $50 \sqrt{6}$.
C. $100 \sqrt{2}$.
D. $100 \sqrt{3}$.
Mặt cầu $\left(S_{1}\right)$ có tâm $I(-5;0;0);{{R}_{1}}=5$. Mặt cầu $\left(S_{2}\right)$ có tâm $I(-5;0;0);{{R}_{2}}=10$.
$\Delta$ là đường thẳng di động tiếp xúc với $\left(S_{1}\right)$ tại $H$ và đồng thời cắt $\left(S_{2}\right)$ tại hai điểm $M,\ N$.
Khi đó, $MN=2MH=2\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=10\sqrt{3}$. ${{S}_{\vartriangle KMN}}=\dfrac{1}{2}d(K;\Delta )\cdot MN$.
${{S}_{\Delta KMN}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow d(A ; \Delta)$ lớn nhất $\Leftrightarrow K;I;H$ thẳng hàng và $I$ nằm giữa $K,\ H$.
$\Rightarrow H\in Ox\Rightarrow H(-10;0;0)$. $KH=KI+IH=13+5=18$. Khi đó diện tích lớn nhất của tam giác
$KMN$ là ${{S}_{\vartriangle KMN}}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot MN=\dfrac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 18=90\sqrt{3}$.
A. $90 \sqrt{3}$.
B. $50 \sqrt{6}$.
C. $100 \sqrt{2}$.
D. $100 \sqrt{3}$.
$\Delta$ là đường thẳng di động tiếp xúc với $\left(S_{1}\right)$ tại $H$ và đồng thời cắt $\left(S_{2}\right)$ tại hai điểm $M,\ N$.
Khi đó, $MN=2MH=2\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=10\sqrt{3}$. ${{S}_{\vartriangle KMN}}=\dfrac{1}{2}d(K;\Delta )\cdot MN$.
${{S}_{\Delta KMN}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow d(A ; \Delta)$ lớn nhất $\Leftrightarrow K;I;H$ thẳng hàng và $I$ nằm giữa $K,\ H$.
$\Rightarrow H\in Ox\Rightarrow H(-10;0;0)$. $KH=KI+IH=13+5=18$. Khi đó diện tích lớn nhất của tam giác
$KMN$ là ${{S}_{\vartriangle KMN}}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot MN=\dfrac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 18=90\sqrt{3}$.
Đáp án A.