Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ lần lượt có phương trình là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z-22=0$, ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y+2z+5=0$. Xét các mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm mà tất cả các $mp\left( P \right)$ đi qua. Tính tổng $S=a+b+c.$
A. $S=-\dfrac{5}{2}$.
B. $S=\dfrac{5}{2}$.
C. $S=-\dfrac{9}{2}$.
D. $S=\dfrac{9}{2}$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}=\left( 1;1;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=5$. Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}=\left( 3;-2;-1 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=3$. Ta có $\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên hai mặt cầu này cắt nhau. Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ theo thứ tự tại điểm ${{H}_{1}},{{H}_{2}}$. Gọi $M={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \left( P \right)$ theo định lý Talet ta có $\dfrac{M{{I}_{2}}}{M{{I}_{1}}}=\dfrac{{{I}_{2}}{{H}_{2}}}{{{I}_{1}}{{H}_{1}}}=\dfrac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=\dfrac{3}{5}$ $\Rightarrow \overrightarrow{M{{I}_{2}}}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{M{{I}_{1}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-a=\dfrac{3}{5}\left( 1-a \right) \\
& -2-b=\dfrac{3}{5}\left( 1-b \right) \\
& -1-c=\dfrac{3}{5}\left( 1-c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=-\dfrac{13}{2} \\
& c=-4 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy các mặt phẳng $ \left( P \right) $ luôn đi qua điểm $ M\left( 6;\dfrac{-13}{2};-4 \right) $ và $ S=a+b+c=-\dfrac{9}{2}$.
A. $S=-\dfrac{5}{2}$.
B. $S=\dfrac{5}{2}$.
C. $S=-\dfrac{9}{2}$.
D. $S=\dfrac{9}{2}$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}=\left( 1;1;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=5$. Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}=\left( 3;-2;-1 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=3$. Ta có $\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên hai mặt cầu này cắt nhau. Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ theo thứ tự tại điểm ${{H}_{1}},{{H}_{2}}$. Gọi $M={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \left( P \right)$ theo định lý Talet ta có $\dfrac{M{{I}_{2}}}{M{{I}_{1}}}=\dfrac{{{I}_{2}}{{H}_{2}}}{{{I}_{1}}{{H}_{1}}}=\dfrac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=\dfrac{3}{5}$ $\Rightarrow \overrightarrow{M{{I}_{2}}}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{M{{I}_{1}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-a=\dfrac{3}{5}\left( 1-a \right) \\
& -2-b=\dfrac{3}{5}\left( 1-b \right) \\
& -1-c=\dfrac{3}{5}\left( 1-c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=-\dfrac{13}{2} \\
& c=-4 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy các mặt phẳng $ \left( P \right) $ luôn đi qua điểm $ M\left( 6;\dfrac{-13}{2};-4 \right) $ và $ S=a+b+c=-\dfrac{9}{2}$.
Đáp án C.