Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right): {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16$, $\left( {{S}_{2}} \right): {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=36$ và điểm $A\left( 4;0;0 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ di động nhưng luôn tiếp xúc với $({{S}_{1}})$, đồng thời cắt $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm $B, C$. Tam giác $ABC$ có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
A. $24\sqrt{5}$.
B. 48.
C. 7 2.
D. $28\sqrt{5}$.
Ta có: $\left( {{S}_{1}} \right), \left( {{S}_{2}} \right)$ có cùng tâm $I\left( -4;0;0 \right)$ và lần lượt có bán kính là ${{r}_{1}}=4, {{r}_{2}}=6$.
Gọi $T$ là hình chiếu của $I$ trên $d$, ta được $TB=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{T}^{2}}}=2\sqrt{5}$, tức $BC=4\sqrt{5}$.
Gọi $\left( P \right)$ là tiếp diện của $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại $T$, khi đó $\Delta $ qua $T$ và nằm trong $\left( P \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$, ta có $AH\le AT$, dấu bằng xảy ra khi $d\bot AT$.
Gọi $M, N$ là các giao điểm của đường thẳng $AI$ và $\left( {{S}_{1}} \right)$ với $AM<AN$. Dễ thấy $AN=12$ và đây cũng chính là độ dài lớn nhất của $AT$.
Lúc này ta có $AH\le AN=12$, dấu bằng xảy ra khi $d\bot AN$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là $24\sqrt{5}$.
A. $24\sqrt{5}$.
B. 48.
C. 7 2.
D. $28\sqrt{5}$.
Ta có: $\left( {{S}_{1}} \right), \left( {{S}_{2}} \right)$ có cùng tâm $I\left( -4;0;0 \right)$ và lần lượt có bán kính là ${{r}_{1}}=4, {{r}_{2}}=6$.
Gọi $T$ là hình chiếu của $I$ trên $d$, ta được $TB=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{T}^{2}}}=2\sqrt{5}$, tức $BC=4\sqrt{5}$.
Gọi $\left( P \right)$ là tiếp diện của $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại $T$, khi đó $\Delta $ qua $T$ và nằm trong $\left( P \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$, ta có $AH\le AT$, dấu bằng xảy ra khi $d\bot AT$.
Gọi $M, N$ là các giao điểm của đường thẳng $AI$ và $\left( {{S}_{1}} \right)$ với $AM<AN$. Dễ thấy $AN=12$ và đây cũng chính là độ dài lớn nhất của $AT$.
Lúc này ta có $AH\le AN=12$, dấu bằng xảy ra khi $d\bot AN$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là $24\sqrt{5}$.
Đáp án A.