Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=1.$ Gọi $M$ là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua $M$, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là:
A. $8\pi $
B. $4\sqrt{6}\pi $
C. $2\sqrt{30}\pi $
D. $4\pi $
A. $8\pi $
B. $4\sqrt{6}\pi $
C. $2\sqrt{30}\pi $
D. $4\pi $
Cách giải:
Mặt cầu $\left(S_{1}\right):(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-1)^{2}=4$ có tâm $I_{1}(2 ;-3 ; 1)$, bán kính $R_{1}=2$.
Mặt cầu $\left(S_{2}\right):(x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}=1$ có tâm $I_{2}(3 ;-1 ;-1)$, bán kính $R_{2}=1$.
Ta có: $I_{1} I_{2}=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=3=R_{1}+R_{2}$.
$\Rightarrow\left(S_{1}\right),\left(S_{2}\right)$ tiếp xúc ngoài.
Gọi $(P),(Q),(R)$ là 3 mặt phẳng đi qua $M$, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left(S_{1}\right)$ theo ba đường tròn.
Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $I_{1}$ lên $(P),(Q),(R)$.
$r_{1}, r_{2}, r_{3}$ theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm $H_{1}, H_{2}, H_{3}$.
Khi đó ta có $I_{1} H_{1}^{2}+I_{1} H_{2}^{2}+I_{1} H_{3}^{2}=I_{1} M^{2}$
$\Leftrightarrow 4-r_{1}^{2}+4-r_{2}^{2}+4-r_{3}^{2}=I_{1} M^{2}$
$\Leftrightarrow 12-\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}\right)=I_{1} M^{2}$
Tổng chu vi 3 đường tròn là:
$T=2 \pi r_{1}+2 \pi r_{2}+2 \pi r=2 \pi\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
$\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)^{2} \leq\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right)\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}\right)$
$\Rightarrow r_{1}+r_{2}+r_{3} \leq \sqrt{3\left(12-I_{1} M^{2}\right)}$
$\Rightarrow T \leq 2 \pi \sqrt{3\left(12-I_{1} M^{2}\right)} \leq 2 \pi \sqrt{3\left(12-R_{1}^{2}\right)}=2 \pi \sqrt{3(12-4)}=4 \pi \sqrt{6}$
Vậy $T_{\max }=4 \pi \sqrt{6}$. Dấu "=" xảy ra khi $r_{1}=r_{2}=r_{3}, I_{1} M=2$.
Mặt cầu $\left(S_{1}\right):(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-1)^{2}=4$ có tâm $I_{1}(2 ;-3 ; 1)$, bán kính $R_{1}=2$.
Mặt cầu $\left(S_{2}\right):(x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}=1$ có tâm $I_{2}(3 ;-1 ;-1)$, bán kính $R_{2}=1$.
Ta có: $I_{1} I_{2}=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=3=R_{1}+R_{2}$.
$\Rightarrow\left(S_{1}\right),\left(S_{2}\right)$ tiếp xúc ngoài.
Gọi $(P),(Q),(R)$ là 3 mặt phẳng đi qua $M$, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left(S_{1}\right)$ theo ba đường tròn.
Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $I_{1}$ lên $(P),(Q),(R)$.
$r_{1}, r_{2}, r_{3}$ theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm $H_{1}, H_{2}, H_{3}$.
Khi đó ta có $I_{1} H_{1}^{2}+I_{1} H_{2}^{2}+I_{1} H_{3}^{2}=I_{1} M^{2}$
$\Leftrightarrow 4-r_{1}^{2}+4-r_{2}^{2}+4-r_{3}^{2}=I_{1} M^{2}$
$\Leftrightarrow 12-\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}\right)=I_{1} M^{2}$
Tổng chu vi 3 đường tròn là:
$T=2 \pi r_{1}+2 \pi r_{2}+2 \pi r=2 \pi\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
$\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)^{2} \leq\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right)\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}\right)$
$\Rightarrow r_{1}+r_{2}+r_{3} \leq \sqrt{3\left(12-I_{1} M^{2}\right)}$
$\Rightarrow T \leq 2 \pi \sqrt{3\left(12-I_{1} M^{2}\right)} \leq 2 \pi \sqrt{3\left(12-R_{1}^{2}\right)}=2 \pi \sqrt{3(12-4)}=4 \pi \sqrt{6}$
Vậy $T_{\max }=4 \pi \sqrt{6}$. Dấu "=" xảy ra khi $r_{1}=r_{2}=r_{3}, I_{1} M=2$.
Đáp án B.