Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có phương trình ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{3},{{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{4}.$ Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cách đều hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là:
A. $2x+y+3z+3=0$
B. $14x-4y-8z+3=0$
C. $7x-2y-4z=0$
D. $7x-2y-4z+3=0.$
Ta có ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left( 2;2;3 \right)$ và có ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=\left( 2;1;3 \right),$
${{d}_{2}}$ đi qua $B\left( 1;2;1 \right)$ và có ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=\left( 2;-1;4 \right)$
$\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;-2 \right),\left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right]=\left( 7;-2;-4 \right)$
$\Rightarrow \left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right].\overrightarrow{AB}\ne 0$ nên ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau.
Do $\left( \alpha \right)$ cách đều ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên $\left( \alpha \right)$ song song với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right]=\left( 7;-2;-4 \right) \\
& \Rightarrow \left( \alpha \right):7x-2y-4z+d=0 \\
\end{aligned}$
Theo giả thiết thì $d\left( A,\left( \alpha \right) \right)=d\left( B,\left( \alpha \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| d-2 \right|}{\sqrt{69}}=\dfrac{\left| d-1 \right|}{\sqrt{69}}\Leftrightarrow d=\dfrac{3}{2}$
$\Rightarrow \left( \alpha \right):14x-4y-8z+3=0$
A. $2x+y+3z+3=0$
B. $14x-4y-8z+3=0$
C. $7x-2y-4z=0$
D. $7x-2y-4z+3=0.$
Ta có ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left( 2;2;3 \right)$ và có ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=\left( 2;1;3 \right),$
${{d}_{2}}$ đi qua $B\left( 1;2;1 \right)$ và có ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=\left( 2;-1;4 \right)$
$\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;-2 \right),\left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right]=\left( 7;-2;-4 \right)$
$\Rightarrow \left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right].\overrightarrow{AB}\ne 0$ nên ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau.
Do $\left( \alpha \right)$ cách đều ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên $\left( \alpha \right)$ song song với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}},{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}} \right]=\left( 7;-2;-4 \right) \\
& \Rightarrow \left( \alpha \right):7x-2y-4z+d=0 \\
\end{aligned}$
Theo giả thiết thì $d\left( A,\left( \alpha \right) \right)=d\left( B,\left( \alpha \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| d-2 \right|}{\sqrt{69}}=\dfrac{\left| d-1 \right|}{\sqrt{69}}\Leftrightarrow d=\dfrac{3}{2}$
$\Rightarrow \left( \alpha \right):14x-4y-8z+3=0$
Đáp án B.