Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1-2t \\
& y=t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.,d':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t' \\
& y=-1+2t' \\
& z=-2t' \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):x+y+z+2=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt d và d' có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}.$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-4}.$
C. $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1}.$
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-4}{2}.$
& x=-1-2t \\
& y=t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right.,d':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t' \\
& y=-1+2t' \\
& z=-2t' \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):x+y+z+2=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt d và d' có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}.$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-4}.$
C. $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1}.$
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-4}{2}.$
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d$, có $A\in d$ nên A(-1-2t; t; -1+3t); gọi $B=\Delta \cap d'$, có $B\in d'$ nên $B\left( 2+t';-1+2t';-2t' \right)$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( t'+2t+3;2t'-t-1;-2t'-3t+1 \right)$
Do $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{t'+2t+3}{1}=\dfrac{2t'-t-1}{1}=\dfrac{-2t'-3t+1}{1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-t'=-4 \\
& 2t+4t'=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t'=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;-1;-4 \right) \\
& B\left( 3;1;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm B và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$ nên có phương trình $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d$, có $A\in d$ nên A(-1-2t; t; -1+3t); gọi $B=\Delta \cap d'$, có $B\in d'$ nên $B\left( 2+t';-1+2t';-2t' \right)$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( t'+2t+3;2t'-t-1;-2t'-3t+1 \right)$
Do $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{t'+2t+3}{1}=\dfrac{2t'-t-1}{1}=\dfrac{-2t'-3t+1}{1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-t'=-4 \\
& 2t+4t'=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t'=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;-1;-4 \right) \\
& B\left( 3;1;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm B và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$ nên có phương trình $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}$.
Đáp án A.