Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng...

Mặt phẳng Oxz có phương trình: $y=0$
+) Thay $y=0$ vào phương trình ${{d}_{1}}$, suy ra: $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{0+2}{-1}-\dfrac{z+1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-5 \\
& z=-5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( -5;0;-5 \right)$
+) Thay $y=0$ vào phương trình ${{d}_{2}}$, suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& x=3t \\
& 0=4-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=4 \\
& x=12 \\
& z=10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B\left( 12;0;10 \right)$
Suy ra
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OA}=\left( -5;0;-5 \right) \\
& \overrightarrow{OB}=\left( 12;0;10 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 0;-10;0 \right)\Rightarrow {{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right] \right|=\dfrac{\sqrt{{{0}^{2}}+{{10}^{2}}+{{0}^{2}}}}{2}=5$