Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ ; ${{d}_{2}}:\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$, cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{3}$.
B. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$.
D. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{3}$.
B. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$.
D. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm. Gọi $M=\Delta \cap {{d}_{1}}$ ; $N=\Delta \cap {{d}_{2}}$.
Vì $M\in {{d}_{1}}$ nên $M\left( 3-t ; 3-2t ; -2+t \right)$,
vì $N\in {{d}_{2}}$ nên $N\left( 5-3s ; -1+2s ; 2+s \right)$.
$\overrightarrow{MN}=\left( 2+t-3s ; -4+2t+2s ; 4-t+s \right)$, $\left( P \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right)$ ;
Vì $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{n} , \overrightarrow{MN}$ cùng phương, do đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2+t-3s}{1}=\dfrac{-4+2t+2s}{2} \\
& \dfrac{-4+2t+2s}{2}=\dfrac{4-t+s}{3} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& s=1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\left( 1 ; -1 ; 0 \right) \\
& N\left( 2 ; 1 ; 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Delta $ đi qua $M$ và có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right)$.
Do đó $\Delta $ có phương trình chính tắc là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$.
Vì $M\in {{d}_{1}}$ nên $M\left( 3-t ; 3-2t ; -2+t \right)$,
vì $N\in {{d}_{2}}$ nên $N\left( 5-3s ; -1+2s ; 2+s \right)$.
$\overrightarrow{MN}=\left( 2+t-3s ; -4+2t+2s ; 4-t+s \right)$, $\left( P \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right)$ ;
Vì $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{n} , \overrightarrow{MN}$ cùng phương, do đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2+t-3s}{1}=\dfrac{-4+2t+2s}{2} \\
& \dfrac{-4+2t+2s}{2}=\dfrac{4-t+s}{3} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& s=1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\left( 1 ; -1 ; 0 \right) \\
& N\left( 2 ; 1 ; 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Delta $ đi qua $M$ và có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right)$.
Do đó $\Delta $ có phương trình chính tắc là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$.
Đáp án C.