Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{- 1}

và

d_{2} : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}

. Phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

d_{1}

sao cho góc giữa mặt phẳng

(P)

và đường thẳng

d_{2}

là lớn nhất là:

a x - y + c z + d = 0

. Giá trị của

T = a + c + d

bằng
A.

T = 0

B.

T = 3

C.

T = - \frac{13}{4}

D.

T = - 6

Ta có:

d_{1} = \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{- 1} \Rightarrow {\begin{aligned} 2 x - y - 4 = 0 (α) \\ y + 2 z + 2 = 0 (β) \end{aligned}

Khi đó

d_{1} \subset (P) \Rightarrow (P) : m (2 x - y - 4) + n (y + 2 z + 2) = 0, m^{2} + n^{2} > 0

\Rightarrow \vec{n_{P}} = (2 m; - m + n; 2 n)

là VTPT của

(P)

.
Mặt khác,

d_{2}

có VTCP là

\vec{u_{2}} = (2; - 1; 2)

.
Xét

\sin ∡ (d_{2}; (P)) = | \cos (\vec{u_{d_{2}}}; \vec{n_{P}}) | = \frac{| 4 m + m - n + 4 n |}{3 \sqrt{4 m^{2} + {(n - m)}^{2} + 4 n^{2}}} = \frac{| 5 m + 3 n |}{3 \sqrt{5 m^{2} - 2 m n + 5 n^{2}}}

\Rightarrow \sin^{2} ∡ (d_{2}; (P)) = \frac{1}{9} . \frac{25 m^{2} + 30 m n + 9 n^{2}}{5 m^{2} - 2 m n + 5 n^{2}}

.
TH1:

n = 0 \Rightarrow m \neq 0

, ta chọn

m = 1 \Rightarrow \sin^{2} ∡ (d_{2}; (P)) = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin ∡ (d_{2}; (P)) = \frac{\sqrt{5}}{3}

.
TH2:

n \neq 0

, ta chọn

n = 1 \Rightarrow \sin^{2} ∡ (d_{2}; (P)) = \frac{1}{9} . \frac{25 m^{2} + 30 m + 9}{5 m^{2} - 2 m + 5} = f (m)

.

f^{'} (m) = \frac{1}{9} . \frac{- 200 m^{2} + 160 m + 168}{{(5 m^{2} - 4 m + 8)}^{2}} \overset{f = 0}{\to} [\begin{aligned} m = - \frac{3}{5} \Rightarrow f (- \frac{3}{5}) = 0 \\ m = \frac{7}{5} \Rightarrow f (\frac{7}{5}) = \frac{25}{27} \end{aligned}

.
Lập bảng biến và nhận xét:

∡ {(d_{2}; (P))}_{max} \Leftrightarrow \sin ∡ {(d_{2}; (P))}_{max} \Leftrightarrow \sin^{2} ∡ {(d_{2}; (P))}_{max} \Rightarrow m = \frac{7}{5}

.
Khi đó

\frac{7}{5} (2 x - y - 4) + (y + 2 z + 2) = 0 \Rightarrow 7 x - y + 5 z - 9 = 0 \Rightarrow a = 7, c = 5, d = - 9 \Rightarrow T = a + c + d = 3

.

Đáp án B.