Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M\left( -2;-2;1 \right),A\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng
$d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\Delta $ đi qua M vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.
A. $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-1 \right)$
B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;7;-1 \right)$
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;2 \right)$
D. $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa $\Delta $.
Mặt phẳng (P) đi qua $M\left( -2;-2;1 \right)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên có phương trình $(P):2x+2y-z+9=0$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và $\Delta $.
Khi đó $AK\ge AH$ (AH không đổi nên $A{{K}_{\min }}$ khi $K\equiv H$.
Đường thẳng AH đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên đường thẳng AH có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$
$H\in AH\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$
$H\in (P)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)$
Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)$
$d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\Delta $ đi qua M vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.
A. $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-1 \right)$
B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;7;-1 \right)$
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;2 \right)$
D. $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa $\Delta $.
Mặt phẳng (P) đi qua $M\left( -2;-2;1 \right)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên có phương trình $(P):2x+2y-z+9=0$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và $\Delta $.
Khi đó $AK\ge AH$ (AH không đổi nên $A{{K}_{\min }}$ khi $K\equiv H$.
Đường thẳng AH đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên đường thẳng AH có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$
$H\in AH\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$
$H\in (P)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)$
Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)$
Đáp án C.