Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;-2;0 \right)$ và $B\left( 3;4;5 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-6z+7=0$. Xét hai điểm $M$, $N$ là hai điểm bất kì thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng
A. $72-2\sqrt{34}$.
B. $\sqrt{72-2\sqrt{34}}$.
C. $72+2\sqrt{34}$.
D. $\sqrt{72+2\sqrt{34}}$.
A. $72-2\sqrt{34}$.
B. $\sqrt{72-2\sqrt{34}}$.
C. $72+2\sqrt{34}$.
D. $\sqrt{72+2\sqrt{34}}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ là giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ nên ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-6z+7=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow 2y=0 $ $ \Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( Ozx \right)$.
Gọi $C\left( 0;0;0 \right)$ và $D\left( 3;0;5 \right)$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ lên $\left( Ozx \right)$. Khi đó $AC=2$, $BD=4$, $CD=\sqrt{34}$.
Ta có: $AM+BN=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{D}^{2}}+D{{N}^{2}}}$ $\ge \sqrt{{{\left( AC+BD \right)}^{2}}+{{\left( CM+DN \right)}^{2}}}$
Mặt khác: $CM+DN+MN\ge CD$ $\Rightarrow CM+DN\ge \sqrt{34}-1$.
Suy ra $AM+BN\ge \sqrt{36+{{\left( CM+DN \right)}^{2}}}\ge \sqrt{36+{{\left( \sqrt{34}-1 \right)}^{2}}}$
Vậy $AM+BN$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{72-2\sqrt{34}}$, dấu $''=''$ xảy ra khi $C,M,N,D$ thẳng hàng.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-6z+7=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow 2y=0 $ $ \Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( Ozx \right)$.
Gọi $C\left( 0;0;0 \right)$ và $D\left( 3;0;5 \right)$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ lên $\left( Ozx \right)$. Khi đó $AC=2$, $BD=4$, $CD=\sqrt{34}$.
Mặt khác: $CM+DN+MN\ge CD$ $\Rightarrow CM+DN\ge \sqrt{34}-1$.
Suy ra $AM+BN\ge \sqrt{36+{{\left( CM+DN \right)}^{2}}}\ge \sqrt{36+{{\left( \sqrt{34}-1 \right)}^{2}}}$
Vậy $AM+BN$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{72-2\sqrt{34}}$, dấu $''=''$ xảy ra khi $C,M,N,D$ thẳng hàng.
Đáp án B.
