Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( -2;2;-2 \right)$ ; $B\left( 3;-3;3 \right).$ Điểm $M$ trong không gian thoả mãn $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}.$ Khi đó độ dài $OM$ lớn nhất bằng
A. $6\sqrt{3}.$
B. $12\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
D. $5\sqrt{3}.$
A. $6\sqrt{3}.$
B. $12\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
D. $5\sqrt{3}.$
Gọi $M\left( x;y;z \right).$
Ta có $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3MA=2MB\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+6 \right)}^{2}}=108.$
Như vậy. điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( -6;6;-6 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{108}=6\sqrt{3}.$
Do đó $OM$ lớn nhất bằng $OI+R=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$
Ta có $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3MA=2MB\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+6 \right)}^{2}}=108.$
Như vậy. điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( -6;6;-6 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{108}=6\sqrt{3}.$
Do đó $OM$ lớn nhất bằng $OI+R=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$
Đáp án B.