Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 5;1;-1 \right),B\left( 14;-3;3 \right)$ và đường thẳng $\left( \Delta \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên $\left( \Delta \right)$. Mặt cầu qua hai điểm $C,D$ có diện tích nhỏ nhất là
A. $44\pi .$
B. $6\pi .$
C. $9\pi .$
D. $36\pi .$
A. $44\pi .$
B. $6\pi .$
C. $9\pi .$
D. $36\pi .$
HD:
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $AC\Rightarrow BH=CD.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( 9;-4;4 \right)\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}$
$=\dfrac{9}{\sqrt{113}.\sqrt{9}}=\dfrac{3}{\sqrt{113}}\Rightarrow CD=HB=AB\cos \left( \widehat{AB;CD} \right)$
$\Rightarrow CD=3.$
Mặt cầu đi qua 2 điểm $C,D$ có diện tích nhỏ nhất khi $CD$ là đường kính của mặt cầu $\Rightarrow {{S}_{\left( C \right)\min }}=4\pi {{R}^{2}}=\pi .C{{D}^{2}}=9\pi .$
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $AC\Rightarrow BH=CD.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( 9;-4;4 \right)\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}$
$=\dfrac{9}{\sqrt{113}.\sqrt{9}}=\dfrac{3}{\sqrt{113}}\Rightarrow CD=HB=AB\cos \left( \widehat{AB;CD} \right)$
$\Rightarrow CD=3.$
Mặt cầu đi qua 2 điểm $C,D$ có diện tích nhỏ nhất khi $CD$ là đường kính của mặt cầu $\Rightarrow {{S}_{\left( C \right)\min }}=4\pi {{R}^{2}}=\pi .C{{D}^{2}}=9\pi .$
Đáp án C.