Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 5;0;0 \right)$ và $B\left( 3;4;0 \right).$ Với $C$ là điểm nằm trên trục $Oz,$ gọi...

Ta có $\left( OAB \right)=\left( Oxy \right),C\in Oz$ suy ra $OC\bot \left( OAB \right).$
Mà $B\left( 3;4;0 \right)\Rightarrow OB=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5=OA\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O.$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB,K$ là trực tâm của tam giác $OAB.$
Suy ra $OM\bot AB$ và $K\in OM.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OM \\
& AB\bot OC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( OCM \right)\Rightarrow AB\bot HK $ (do $ HK\subset \left( OCM \right)$) (1).
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& BK\bot OA \\
& BK\bot OC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( OAC \right)\Rightarrow BK\bot AC.$
Mà $BH\bot AC$ (do $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ ) suy ra $AC\bot \left( BHK \right)\Rightarrow AC\bot HK\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra $HK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow HK\bot HM\Rightarrow \Delta KHM$ vuông tại $H.$
Vì $M,K,\left( OCM \right)$ cố định và $\widehat{KHM}={{90}^{0}}$ nên $H$ thuộc đường tròn đường kính $KM.$
Gọi $N$ là hình chiếu của $B$ lên trục $Ox,$ suy ra $N\left( 3;0;0 \right).$
Từ đó ta tính được $NA=2,BN=4$ và $AB=2\sqrt{5}.$
Ta có $\Delta BMK$ đồng dạng $\Delta BNA$ (g. G) nên suy ra $\dfrac{MK}{NA}=\dfrac{BM}{BN}\Leftrightarrow \dfrac{MK}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{4}\Leftrightarrow MK=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
Vậy khi $C$ di động trên trục $Oz$ thì $H$ luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng $\dfrac{MK}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}.$