Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 4; 6, 2 \right)$ và $B\left( 2; -2; 0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$. Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.
A. $R=\sqrt{3}$
B. $R=2$
C. $R=1$
D. $R=\sqrt{6}$
A. $R=\sqrt{3}$
B. $R=2$
C. $R=1$
D. $R=\sqrt{6}$
Gọi I là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 3; 2; 1 \right)$
Ta có $d\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$
Gọi (S) là mặt cầu có tâm $I\left( 3; 2; 1 \right)$ và bán kính ${R}'=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt{2}$
Ta có $H\in \left( S \right)$. Mặt khác $H\in \left( P \right)$ nên $H\in \left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)$
Bán kính của đường tròn (C) là $R=\sqrt{{{\left( {{R}'} \right)}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I; \left( P \right) \right)}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
Ta có $d\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$
Gọi (S) là mặt cầu có tâm $I\left( 3; 2; 1 \right)$ và bán kính ${R}'=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt{2}$
Ta có $H\in \left( S \right)$. Mặt khác $H\in \left( P \right)$ nên $H\in \left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)$
Bán kính của đường tròn (C) là $R=\sqrt{{{\left( {{R}'} \right)}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I; \left( P \right) \right)}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
Đáp án D.