Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 3;-2;6 \right),B\left( 0;1;0 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$. Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-2=0$ đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ là
A. $T=3.$
B. $T=4.$
C. $T=5.$
D. $T=2.$
A. $T=3.$
B. $T=4.$
C. $T=5.$
D. $T=2.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=5.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A\in \left( P \right) \\
& B\in \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a-2b+6c-2=0 \\
& b-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2-2c \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất.
Ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2-2c \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( c+4 \right)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$. Sử dụng table ta thấy $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất bằng $\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A\in \left( P \right) \\
& B\in \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a-2b+6c-2=0 \\
& b-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2-2c \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất.
Ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2-2c \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( c+4 \right)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$. Sử dụng table ta thấy $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất bằng $\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3.$
Đáp án A.