Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( -2;2;-2 \right); B\left( 3;-3;3 \right)$. Điểm M trong không gian thỏa mãn $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}.$ Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng
A. $6\sqrt{3}.$
B. $12\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
D. $5\sqrt{3}.$
A. $6\sqrt{3}.$
B. $12\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
D. $5\sqrt{3}.$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$
Ta có $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3MA=2MB\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow {{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+6 \right)}^{2}}=108 \\
\end{aligned}$
Như vậy, điểm $M\in \left( S \right)$ có tâm $I\left( -6;6;-6 \right),$ bán kính $R=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
Do đó $O{{M}_{\max }}=OI+R=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$
Ta có $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3MA=2MB\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow {{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+6 \right)}^{2}}=108 \\
\end{aligned}$
Như vậy, điểm $M\in \left( S \right)$ có tâm $I\left( -6;6;-6 \right),$ bán kính $R=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
Do đó $O{{M}_{\max }}=OI+R=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$
Đáp án B.