Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;0;0 \right),M\left( 1;2;3 \right)$. Có bao nhiêu mặt phẳng qua $A,M$ và cắt trục tọa độ ${y}'Oy,{z}'Oz$ lần lượt tại $B,C$ khác gốc tọa độ $O$ và tọa độ các điểm $B$ và $C$ là các số nguyên.
A. 8.
B. 15.
C. 13.
D. 16
A. 8.
B. 15.
C. 13.
D. 16
Gọi $B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ phương trình mặt phẳng là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Vì $M\left( 1;2;3 \right)$ thuộc mặt phẳng nên $\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1\Leftrightarrow c=\dfrac{6b}{b-4}=6+\dfrac{24}{b-4}$.
Do đó $b,c\in \mathbb{Z}\Rightarrow b-4$ là ước của $24$.
Do đó $b-4\in \left\{ \pm 24;\pm 12;\pm 8;\pm 6;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1 \right\}$ với chú ý $b\ne 0\Rightarrow b-4\ne -4$.
Vậy có tất cả $15$ số nguyên $b$ thỏa mãn, tức có 15 mặt phẳng thỏa mãn.
Vì $M\left( 1;2;3 \right)$ thuộc mặt phẳng nên $\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1\Leftrightarrow c=\dfrac{6b}{b-4}=6+\dfrac{24}{b-4}$.
Do đó $b,c\in \mathbb{Z}\Rightarrow b-4$ là ước của $24$.
Do đó $b-4\in \left\{ \pm 24;\pm 12;\pm 8;\pm 6;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1 \right\}$ với chú ý $b\ne 0\Rightarrow b-4\ne -4$.
Vậy có tất cả $15$ số nguyên $b$ thỏa mãn, tức có 15 mặt phẳng thỏa mãn.
Đáp án B.