Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;4;5 \right)$ và $B\left( -1;2;7 \right).$ Điểm $M$ thay đổi nhưng luôn thuộc mặt...

Phương pháp:
- Gọi $I$ là trung điểm của $AB.$ Phân tích $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}$ bằng cách chèn điểm $I.$
- Chứng minh $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt GTNN khi $M{{I}_{\min }}=d\left( I;\left( P \right) \right).$
- Tính $d\left( I;\left( P \right) \right)$ và $AB.$ Từ đó tìm được ${{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}_{\min }}$.
Cách giải:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB.$
Ta có:
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)$
$=2M{{I}^{2}}+\dfrac{1}{4}A{{B}^{2}}+\dfrac{1}{4}A{{B}^{2}}$
$=2M{{I}^{2}}+\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}$
Vì $A{{B}^{2}}={{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=12$ không đổi nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt GTNN khi $M{{I}_{\min }}.$
Khi đó $M{{I}_{\min }}=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3.0-5.3+6-9 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{18}{\sqrt{35}}.$
Vậy ${{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}_{\min }}=2.\dfrac{{{18}^{2}}}{35}+\dfrac{1}{2}.12=\dfrac{858}{35}.$