Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;7 \right)$, $B\left( \dfrac{-5}{7};\dfrac{-10}{7};\dfrac{13}{7} \right)$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu tâm $I$ đi qua hai điểm $A$, $B$ sao cho $OI$ nhỏ nhất. $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc $\left( S \right)$, giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2a-b+2c$ là
A. $18$.
B. $7$.
C. $156$.
D. $6$.
A. $18$.
B. $7$.
C. $156$.
D. $6$.
Tâm $I$ mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$. Phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ là $\left( P \right):x+2y+3z-14=0$.
$OI$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ điểm $I$ khi đó ứng với $t$ là nghiệm phương trình
$t+2.2t+3.3t-14=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)$.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=4$.
Từ $T=2a-b+2c$ $\Rightarrow 2a-b+2c-T=0$, suy ra $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+2z-T=0$.
Vì $M$ thuộc mặt cầu nên:
$d\left( I;\left( Q \right) \right)\le R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.1-2+2.3-T \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le 4$ $\Leftrightarrow \left| 6-T \right|\le 12\Leftrightarrow -6\le T\le 18$.
$OI$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ điểm $I$ khi đó ứng với $t$ là nghiệm phương trình
$t+2.2t+3.3t-14=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)$.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=4$.
Từ $T=2a-b+2c$ $\Rightarrow 2a-b+2c-T=0$, suy ra $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+2z-T=0$.
Vì $M$ thuộc mặt cầu nên:
$d\left( I;\left( Q \right) \right)\le R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.1-2+2.3-T \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le 4$ $\Leftrightarrow \left| 6-T \right|\le 12\Leftrightarrow -6\le T\le 18$.
Đáp án A.