Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;7 \right),B\left( \dfrac{-5}{7};\dfrac{-10}{7};\dfrac{13}{7} \right).$ Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu tâm I đi qua hai điểm $A,B$ sao cho OI nhỏ nhất. $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc $\left( S \right)$, giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2a-b+2c$ là
A. 18.
B. 7.
C. 156.
D. 6.
A. 18.
B. 7.
C. 156.
D. 6.
Do $IA=IB\Rightarrow I$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của AB
Mặt phẳng này đi qua $E\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{31}{7} \right)$ và có VTPT là: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left( \dfrac{-1}{7};\dfrac{-24}{7};\dfrac{-36}{7} \right)=\dfrac{-12}{7}\left( 1;2;3 \right)$
Suy ra $\left( P \right):x+2y+3z-14=0$
Khi đó OI nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ I là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng $\left( P \right)$
Phương trình đường thẳng OI: $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t;2t;3t \right)$
Cho $I\in \left( P \right)\Rightarrow t+4t+9t-14=0\Rightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)$
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$
Điểm $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}=16$
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
$\left( {{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}} \right]\ge {{\left[ 2\left( a-1 \right)-\left( b-2 \right)+2\left( c-3 \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9.16\ge {{\left( 2a-b+2c-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 12\ge 2a-b+2c-6\ge -12\Rightarrow 2a-b+2c\le 18$.
Mặt phẳng này đi qua $E\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{31}{7} \right)$ và có VTPT là: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left( \dfrac{-1}{7};\dfrac{-24}{7};\dfrac{-36}{7} \right)=\dfrac{-12}{7}\left( 1;2;3 \right)$
Suy ra $\left( P \right):x+2y+3z-14=0$
Khi đó OI nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ I là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng $\left( P \right)$
Phương trình đường thẳng OI: $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t;2t;3t \right)$
Cho $I\in \left( P \right)\Rightarrow t+4t+9t-14=0\Rightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)$
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$
Điểm $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}=16$
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
$\left( {{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}} \right]\ge {{\left[ 2\left( a-1 \right)-\left( b-2 \right)+2\left( c-3 \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9.16\ge {{\left( 2a-b+2c-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 12\ge 2a-b+2c-6\ge -12\Rightarrow 2a-b+2c\le 18$.
Đáp án A.