Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;7...

Do $IA=IB\Rightarrow I$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ là mặt phẳng trung trực của AB
Mặt phẳng này đi qua $E({\displaystyle \frac{1}{7}};{\displaystyle \frac{2}{7}};{\displaystyle \frac{31}{7}})$ và có VTPT là: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=({\displaystyle \frac{-1}{7}};{\displaystyle \frac{-24}{7}};{\displaystyle \frac{-36}{7}})={\displaystyle \frac{-12}{7}}(1;2;3)$
Suy ra $\left(P\right):x+2y+3z-14=0$
Khi đó OI nhỏ nhất $\iff$ I là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng $\left(P\right)$
Phương trình đường thẳng OI: $\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=2t\\ & z=3t\end{array}\Rightarrow I(t;2t;3t)$
Cho $I\in \left(P\right)\Rightarrow t+4t+9t-14=0\Rightarrow t=1\Rightarrow I(1;2;3)$
Phương trình mặt cầu $\left(S\right)$ là: ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=16$
Điểm $M\in \left(S\right)\Rightarrow {(a-1)}^2+{(b-2)}^2+{(c-3)}^2=16$
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
$(2^2+{(-1)}^2+2^2)[{(a-1)}^2+{(b-2)}^2+{(c-3)}^2]\ge {[2(a-1)-(b-2)+2(c-3)]}^2$
$\iff 9.16\ge {(2a-b+2c-6)}^2\iff 12\ge 2a-b+2c-6\ge -12\Rightarrow 2a-b+2c\le 18$.