Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A\left( 1;2;3...

Lời giải
Phương trình $mp\left( P \right)$ có dạng $mx+ny+qz+e=0\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{q}^{2}}>0 \right)mp\left( P \right)$ qua $Ox$ nên đi qua
$O\left( 0;0;0 \right)v\grave{a}K\left( 1;0;0 \right)\Rightarrow e=0;m=0$.
Do đó, Phương trình $mp\left( P \right)$ có dạng $ny+qz=0\left( {{n}^{2}}+{{q}^{2}}>0 \right)$
$\begin{aligned}
& d\left( B,\left( P \right) \right)=2d\left( A,\left( P \right) \right){{35}^{2}}+40nq=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& q=0 \\
& q=-\dfrac{8}{7}n \\
\end{aligned} \right. \\
& \\
\end{aligned}$
Mặt khác $\left( P \right)$ cắt AB tại $I\left( a;b;c \right)$ nằm giữa ,A Bnên ,A B nằm khác phía đối với $\left( P \right)$
$\Rightarrow \left( 2n+3q \right)\left( -4n-q \right)<0\Leftrightarrow \left( 2n+3q \right)\left( 4n+q \right)>0\left( * \right)$
Với $q=-\dfrac{8}{7}n$ ( không thỏa mãn (*))
Với $q=0\Rightarrow n\ne 0$ (thỏa mãn (*))phương trình $mp\left( P \right)$ là $y=0$
Đường thẳng AB đi qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-6;-4 \right)$ là 6 ; y = làm VTCP nên có phương trình là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-3t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right.\left( P \right) $ cắt AB tại I nên tọa độ điểm I là các giá trị $ x,y,z$ ứng với
$2-3t=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow I\left( \dfrac{7}{3};0;\dfrac{5}{3} \right)$. Vậy $a+b+c=4$