Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;-2;-3 \right);B\left( 1;1;1 \right)$ và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z+6}{-3};{{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z-4}{3}.$ Gọi m là số mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB đồng thời song song với cả hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}};$ n là số mặt phẳng $\left( Q \right),$ sao cho khoảng cách từ A đến $\left( Q \right)$ bằng 15, khoảng cách từ B đến $\left( Q \right)$ bằng 10. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. $m+n=1.$
B. $m+n=4.$
C. $m+n=3.$
D. $m+n=2.$
A. $m+n=1.$
B. $m+n=4.$
C. $m+n=3.$
D. $m+n=2.$
HD: Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)//{{\Delta }_{1}} \\
& \left( P \right)//{{\Delta }_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 0;-6;-8 \right)=-2\left( 0;3;4 \right)\Rightarrow $ Có 2 mặt phẳng
$\left( P \right)$ có vecto pháp tuyến là $\left( 0;3;4 \right)$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AB\Rightarrow m=2.$
Gọi I là giao điểm của AB và $\left( Q \right)\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( Q \right) \right)}{d\left( B;\left( Q \right) \right)}=\dfrac{AI}{BI}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow AI=\dfrac{3}{2}BI$
Ta có $AB=5$ và có 2 điểm I nằm trên đường thẳng AB thỏa mãn $AI=\dfrac{3}{2}BI.$
TH1 : I nằm trong đoạn AB $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=\dfrac{3}{2}BI \\
& IA+IB=AB=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=3 \\
& BI=2 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $d\left( A;\left( Q \right) \right)\le AI=3\Rightarrow $ không tồn tại $\left( Q \right).$
TH2: I nằm trên tia đối của tia BA $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=\dfrac{3}{2}BI \\
& AI-BI=AB=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=15 \\
& BI=10 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $d\left( A;\left( Q \right) \right)=AI\Leftrightarrow AI\bot \left( Q \right)\Rightarrow $ tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( Q \right).$
Vậy $n=1\Rightarrow m+n=3.$
& \left( P \right)//{{\Delta }_{1}} \\
& \left( P \right)//{{\Delta }_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 0;-6;-8 \right)=-2\left( 0;3;4 \right)\Rightarrow $ Có 2 mặt phẳng
$\left( P \right)$ có vecto pháp tuyến là $\left( 0;3;4 \right)$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AB\Rightarrow m=2.$
Gọi I là giao điểm của AB và $\left( Q \right)\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( Q \right) \right)}{d\left( B;\left( Q \right) \right)}=\dfrac{AI}{BI}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow AI=\dfrac{3}{2}BI$
Ta có $AB=5$ và có 2 điểm I nằm trên đường thẳng AB thỏa mãn $AI=\dfrac{3}{2}BI.$
TH1 : I nằm trong đoạn AB $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=\dfrac{3}{2}BI \\
& IA+IB=AB=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=3 \\
& BI=2 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $d\left( A;\left( Q \right) \right)\le AI=3\Rightarrow $ không tồn tại $\left( Q \right).$
TH2: I nằm trên tia đối của tia BA $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=\dfrac{3}{2}BI \\
& AI-BI=AB=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AI=15 \\
& BI=10 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $d\left( A;\left( Q \right) \right)=AI\Leftrightarrow AI\bot \left( Q \right)\Rightarrow $ tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( Q \right).$
Vậy $n=1\Rightarrow m+n=3.$
Đáp án C.