Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;-2;-3...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (1; - 2; - 3); B (1; 1; 1)

và hai đường thẳng

Δ_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 6}{- 3}; Δ_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{- 4} = \frac{z - 4}{3} .

Gọi m là số mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB đồng thời song song với cả hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2};

n là số mặt phẳng

(Q),

sao cho khoảng cách từ A đến

(Q)

bằng 15, khoảng cách từ B đến

(Q)

bằng 10. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.

m + n = 1.

B.

m + n = 4.

C.

m + n = 3.

D.

m + n = 2.

HD: Ta có:

{\begin{aligned} (P) / / Δ_{1} \\ (P) / / Δ_{2} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} \vec{n_{(P)}} ⊥ \vec{u_{1}} \\ \vec{n_{(P)}} ⊥ \vec{u_{2}} \end{aligned} \Rightarrow \vec{n_{(P)}} = [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] = (0; - 6; - 8) = - 2 (0; 3; 4) \Rightarrow

Có 2 mặt phẳng

(P)

có vecto pháp tuyến là

(0; 3; 4)

đồng thời tiếp xúc với mặt cầu đường kính

A B \Rightarrow m = 2.

Gọi I là giao điểm của AB và

(Q) \Rightarrow \frac{d (A; (Q))}{d (B; (Q))} = \frac{A I}{B I} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \Rightarrow A I = \frac{3}{2} B I

Ta có

A B = 5

và có 2 điểm I nằm trên đường thẳng AB thỏa mãn

A I = \frac{3}{2} B I .

TH1 : I nằm trong đoạn AB

\Rightarrow {\begin{aligned} A I = \frac{3}{2} B I \\ I A + I B = A B = 5 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} A I = 3 \\ B I = 2 \end{aligned}

Mà

d (A; (Q)) \leq A I = 3 \Rightarrow

không tồn tại

(Q) .

TH2: I nằm trên tia đối của tia BA

\Rightarrow {\begin{aligned} A I = \frac{3}{2} B I \\ A I - B I = A B = 5 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} A I = 15 \\ B I = 10 \end{aligned}

Mà

d (A; (Q)) = A I \Leftrightarrow A I ⊥ (Q) \Rightarrow

tồn tại duy nhất một mặt phẳng

(Q) .

Vậy

n = 1 \Rightarrow m + n = 3.

Đáp án C.