Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 3;2;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y-3=0$. Trong các mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right),\left( S \right)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Tính bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$.
A. $R=2\sqrt{2}$
B. $R=2\sqrt{3}$
C. $R=2$
D. $R=1$
A. $R=2\sqrt{2}$
B. $R=2\sqrt{3}$
C. $R=2$
D. $R=1$
Trung điểm của AB là $M\left( 2;2;2 \right)$ suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB là $\left( Q \right):x+z-4=0$.
Suy ra tâm mặt cầu thuộc $\left( P \right)\cap \left( Q \right):\left\{ \begin{aligned}
& x-y-3=0 \\
& x+z-4=0 \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ I\left( t;t-3;4-t \right)$.
Khi đó ${{R}^{2}}=I{{A}^{2}}={{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t-5 \right)}^{2}}+{{\left( t-3 \right)}^{2}}=3{{t}^{2}}-18t+35\ge 8\Rightarrow {{R}_{\min }}=2\sqrt{2}$.
Suy ra tâm mặt cầu thuộc $\left( P \right)\cap \left( Q \right):\left\{ \begin{aligned}
& x-y-3=0 \\
& x+z-4=0 \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ I\left( t;t-3;4-t \right)$.
Khi đó ${{R}^{2}}=I{{A}^{2}}={{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t-5 \right)}^{2}}+{{\left( t-3 \right)}^{2}}=3{{t}^{2}}-18t+35\ge 8\Rightarrow {{R}_{\min }}=2\sqrt{2}$.
Đáp án A.