Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right), B\left( 0;4;0 \right)$, mặt phẳng (P) có phương trình $2x-y-2z+2017=0$. Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. (Q) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\left( 1;a;b \right)$, khi đó $a+b$ bằng
A. 4.
B. 0.
C. 1.
D. – 2.
A. 4.
B. 0.
C. 1.
D. – 2.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -1;2;1 \right),\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow -1+2a+b=0\Leftrightarrow b=1-2a$
$\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{(P)}}.}\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right|}=\dfrac{\left| 2-a-2b \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2-a-2\left( 1-2a \right) \right|}{3\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 3a \right|}{3\sqrt{5{{a}^{2}}-4a+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5-\dfrac{4}{a}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}}}$
Đặt $t=\dfrac{1}{a}$ thì $\sqrt{5-\dfrac{4}{a}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}}=\sqrt{5-4t+2{{t}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( t-1 \right)}^{2}}+3}\ge \sqrt{3}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{5-\dfrac{4}{a}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}}}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \alpha \le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Dấu "=" xảy ra khi $t=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=-1\Rightarrow a+b=0$
$\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{(P)}}.}\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right|}=\dfrac{\left| 2-a-2b \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2-a-2\left( 1-2a \right) \right|}{3\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 3a \right|}{3\sqrt{5{{a}^{2}}-4a+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5-\dfrac{4}{a}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}}}$
Đặt $t=\dfrac{1}{a}$ thì $\sqrt{5-\dfrac{4}{a}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}}=\sqrt{5-4t+2{{t}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( t-1 \right)}^{2}}+3}\ge \sqrt{3}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{5-\dfrac{4}{a}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}}}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \alpha \le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Dấu "=" xảy ra khi $t=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=-1\Rightarrow a+b=0$
Đáp án B.