Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;-2;0 \right),B\left( -3;0;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-5=0.$ Điểm $M\left( a;b;c \right)$ trên $\left( P \right)$ sao cho $MA=MB=3\sqrt{2}.$ Tính $ab+bc+ac.$
A. 5.
B. 1.
C. 7.
D. 3.
A. 5.
B. 1.
C. 7.
D. 3.
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( 1-a;-2-b;-c \right)\Rightarrow MA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}.$
$\overrightarrow{MB}=\left( -3-a;-b;2-c \right)\Rightarrow MB=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}}.$
Theo giả thiết ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=18 \\
& {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=18 \\
& a+b+c-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a+4b=13 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+6a-4c=5 \\
& a+b+c-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a+4b=13 \\
& 2a+2=b+c \\
& a+b+c-5=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=1 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=5.$
$\overrightarrow{MB}=\left( -3-a;-b;2-c \right)\Rightarrow MB=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}}.$
Theo giả thiết ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=18 \\
& {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=18 \\
& a+b+c-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a+4b=13 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+6a-4c=5 \\
& a+b+c-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a+4b=13 \\
& 2a+2=b+c \\
& a+b+c-5=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=1 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=5.$
Đáp án A.