Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( -3;-3;-3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-3=0.$ Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn này.
A. $r=6.$
B. $r=\sqrt{6}.$
C. $r=3.$
D. $r=1.$
Cách tiếp cận bài toán: vì đây là dạng toán quỹ tích nên ta cần quan tâm đến yếu tố cố định trong bài toán (điểm, đường thẳng và mặt phẳng cố định, độ dài không đổi…).
Ta có hai điểm A, B và mặt phẳng (P) là các yếu tố cố định trong bài toán.
Đường thẳng AB có phương trình
$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}.$
Gọi $M=AB\cap (P)\Rightarrow M\left( 3;3;3 \right).$
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại C nên MC là tiếp tuyến của mặt cầu (S).
Khi đó ta có
$M{{C}^{2}}=MA.MB\Rightarrow M{{C}^{2}}=36\Rightarrow MC=6.$
Vì M cố định và $MC=6$ nên C thuộc đường tròn tâm M bán kính MC.
Vậy $r=MC=6$.
A. $r=6.$
B. $r=\sqrt{6}.$
C. $r=3.$
D. $r=1.$
Cách tiếp cận bài toán: vì đây là dạng toán quỹ tích nên ta cần quan tâm đến yếu tố cố định trong bài toán (điểm, đường thẳng và mặt phẳng cố định, độ dài không đổi…).
Ta có hai điểm A, B và mặt phẳng (P) là các yếu tố cố định trong bài toán.
Đường thẳng AB có phương trình
$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}.$
Gọi $M=AB\cap (P)\Rightarrow M\left( 3;3;3 \right).$
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại C nên MC là tiếp tuyến của mặt cầu (S).
Khi đó ta có
$M{{C}^{2}}=MA.MB\Rightarrow M{{C}^{2}}=36\Rightarrow MC=6.$
Vì M cố định và $MC=6$ nên C thuộc đường tròn tâm M bán kính MC.
Vậy $r=MC=6$.
Đáp án A.