Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;0;2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0.$ Số mặt phẳng chứa hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ là
A. 1 mặt phẳng.
B. 2 mặt phẳng.
C. 0 mặt phẳng.
D. Vô số mặt phẳng.
A. 1 mặt phẳng.
B. 2 mặt phẳng.
C. 0 mặt phẳng.
D. Vô số mặt phẳng.
Gọi phương trình mặt phẳng là: $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ (với ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0$ )
Theo đề bài, mặt phẳng qua A, B nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A+D=0 \\
& 2C+D=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2C \\
& D=-2C \\
\end{aligned} \right..$
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $2Cx+By+Cz-2C=0.$
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1,1,0 \right)$ và $R=1.$
Vì $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2C+B-2C \right|}{\sqrt{5{{C}^{2}}+{{B}^{2}}}}=1\Leftrightarrow {{B}^{2}}=5{{C}^{2}}+{{B}^{2}}\Leftrightarrow C=0.$
Suy ra $A=D=0.$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):y=0.$
Theo đề bài, mặt phẳng qua A, B nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A+D=0 \\
& 2C+D=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2C \\
& D=-2C \\
\end{aligned} \right..$
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $2Cx+By+Cz-2C=0.$
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1,1,0 \right)$ và $R=1.$
Vì $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( P \right) \right)=R$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2C+B-2C \right|}{\sqrt{5{{C}^{2}}+{{B}^{2}}}}=1\Leftrightarrow {{B}^{2}}=5{{C}^{2}}+{{B}^{2}}\Leftrightarrow C=0.$
Suy ra $A=D=0.$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):y=0.$
Đáp án A.