Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;2;2 \right),B\left( 2;-2;0 \right)$. Gọi ${{I}_{1}}\left( 1;1;-1 \right)$ và ${{I}_{2}}\left( 3;1;1 \right)$ là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung $AB$. Biết rằng luôn có một mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính $R$ của $\left( S \right)$.
A. $R=2\sqrt{2}$.
B. $R=2\sqrt{6}$.
C. $R=\dfrac{\sqrt{219}}{3}$.
D. $R=\dfrac{\sqrt{129}}{3}$.
Gọi ${{d}_{1}}$ là đường thẳng đi qua ${{I}_{1}}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {{I}_{1}}AB \right)$, khi đó ${{d}_{1}}$ chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm ${{I}_{1}}$ : ${{d}_{2}}$ là đường thẳng đi qua ${{I}_{2}}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {{I}_{2}}AB \right)$, khi đó ${{d}_{2}}$ chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm ${{I}_{2}}$. Do đó, mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua cả hai đường tròn tâm $\left( {{I}_{1}} \right)$ và $\left( {{I}_{2}} \right)$ có tâm $I$ là giao điểm của ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ và bán kính $R=IA$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}A}=\left( -1;1;3 \right);\overrightarrow{{{I}_{1}}B}=\left( 1;-3;1 \right)$. Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vectơ pháp tuyến là :
$\left[ \overrightarrow{{{I}_{1}}A};\overrightarrow{{{I}_{1}}B} \right]=\left( 10;4;2 \right)=2\left( 5;2;1 \right)$.
Phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}$ là ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+5t \\
& y=1+2t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{2}}A}=\left( -3;1;1 \right),\overrightarrow{{{I}_{2}}B}=\left( -1;3;-1 \right)$. Đưởng thẳng ${{d}_{2}}$ có vectơ pháp tuyến là :
$\left[ \overrightarrow{{{I}_{2}}A};\overrightarrow{{{I}_{2}}B} \right]=\left( 2;-4;10 \right)=2\left( 1;-2;5 \right)$.
Phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ là ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+s \\
& y=1-2s \\
& z=1+5s \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 1+5t=3+s \\
& 1+2t=1-2s \\
& -1+t=1+5s \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1}{3} \\
& s=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ I\left( \dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=\sqrt{{{\left( -\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{129}}{3}$.
A. $R=2\sqrt{2}$.
B. $R=2\sqrt{6}$.
C. $R=\dfrac{\sqrt{219}}{3}$.
D. $R=\dfrac{\sqrt{129}}{3}$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}A}=\left( -1;1;3 \right);\overrightarrow{{{I}_{1}}B}=\left( 1;-3;1 \right)$. Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vectơ pháp tuyến là :
$\left[ \overrightarrow{{{I}_{1}}A};\overrightarrow{{{I}_{1}}B} \right]=\left( 10;4;2 \right)=2\left( 5;2;1 \right)$.
Phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}$ là ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+5t \\
& y=1+2t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{2}}A}=\left( -3;1;1 \right),\overrightarrow{{{I}_{2}}B}=\left( -1;3;-1 \right)$. Đưởng thẳng ${{d}_{2}}$ có vectơ pháp tuyến là :
$\left[ \overrightarrow{{{I}_{2}}A};\overrightarrow{{{I}_{2}}B} \right]=\left( 2;-4;10 \right)=2\left( 1;-2;5 \right)$.
Phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ là ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+s \\
& y=1-2s \\
& z=1+5s \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 1+5t=3+s \\
& 1+2t=1-2s \\
& -1+t=1+5s \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1}{3} \\
& s=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ I\left( \dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=\sqrt{{{\left( -\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{129}}{3}$.
Đáp án D.