Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; -2; 3), B(l; 0; 5) và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{2}$. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d để $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M(1; 2; 3).
B. M(2; 0; 5).
C. M(3; -2; 7).
D. M(3; 0; 4).
A. M(1; 2; 3).
B. M(2; 0; 5).
C. M(3; -2; 7).
D. M(3; 0; 4).
Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB, ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và I (2; -1; 4).
Lại có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;2;2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{3}\Rightarrow IA=IB=\sqrt{3}$.
Khi đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+6.$
Để $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI ngắn nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.
Phưong trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là $1.\left( x-2 \right)-2\left( y+1 \right)+2\left( z-4 \right)=0$ hay $\left( P \right):x-2y+2z-12=0.$
Do $M\in d\Rightarrow M\left( 1+t;2-2t;3+2t \right)$. Mặt khác ta có $M\in \left( P \right)$
$\Leftrightarrow 1+t-2.\left( 2-2t \right)+2.\left( 3+2t \right)-12=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow M\left( 2;0;5 \right).$
Cách 2: Do $M\in d\Rightarrow M\left( 1+t;2-2t;3+2t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( 2-t;2t-4;-2t \right);\overrightarrow{MB}=\left( -t;2t-2;2-2t \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}={{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}=9{{t}^{2}}-20t+20 \\
& M{{B}^{2}}={{\left( -t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}=9{{t}^{2}}-16t+8 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=18{{t}^{2}}-36t+28=18\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)+10=18{{\left( t-1 \right)}^{2}}+10\ge 10$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $t=1$. Khi đó M(2; 0; 5).
Lại có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;2;2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{3}\Rightarrow IA=IB=\sqrt{3}$.
Khi đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+6.$
Để $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI ngắn nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.
Phưong trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là $1.\left( x-2 \right)-2\left( y+1 \right)+2\left( z-4 \right)=0$ hay $\left( P \right):x-2y+2z-12=0.$
Do $M\in d\Rightarrow M\left( 1+t;2-2t;3+2t \right)$. Mặt khác ta có $M\in \left( P \right)$
$\Leftrightarrow 1+t-2.\left( 2-2t \right)+2.\left( 3+2t \right)-12=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow M\left( 2;0;5 \right).$
Cách 2: Do $M\in d\Rightarrow M\left( 1+t;2-2t;3+2t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( 2-t;2t-4;-2t \right);\overrightarrow{MB}=\left( -t;2t-2;2-2t \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}={{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}=9{{t}^{2}}-20t+20 \\
& M{{B}^{2}}={{\left( -t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}=9{{t}^{2}}-16t+8 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=18{{t}^{2}}-36t+28=18\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)+10=18{{\left( t-1 \right)}^{2}}+10\ge 10$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $t=1$. Khi đó M(2; 0; 5).
Đáp án B.